Численные методы решения систем оду первого порядка
Рассмотренные выше методы решения задачи Коши для одного уравнения могут быть использованы также для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка и уравнений высших порядков.
Пусть задана задача коши для системы двух уравнений первого порядка:
Обобщим формулы явного метода Эйлера (5.5):
,
модифицированного метода Эйлера (5.7):
,
схемы Рунге-Кутта четвертого порядка точности (5.10):
Вычисления приближенного решения проводятся путем последовательного применения этих формул.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения второго порядка
Введем
вторую неизвестную функцию
.
Тогда исходная задача Коши для уравнения
сводится к следующей задаче для системы
двух ОДУ первого порядка:
,
которая решается с помощью методов, описанных выше.
ПРИМЕР 5.2. Найти решение задачи Коши:
на
отрезке
.
Точное
решение:
.
Проверим, что точное решение удовлетворяет данному дифференциальному уравнению. Действительно:
Решим
задачу явным методом Эйлера (5.5),
модифицированным методом Эйлера (5.7) и
методом Рунге-Кутты (5.10) на сетке с шагом
.
Введем
функцию
и получим следующую задачу Коши для
системы двух ОДУ первого порядка:
.
Используем формулы явного метода Эйлера:
,
модифицированного метода Эйлера:
.
четырехэтапного метода Рунге – Кутты:
Решение оформим в виде таблиц.
Схема Эйлера:
|
|
|
|
|
Точное решение |
Погрешность |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0.2 |
1 |
-0.2 |
0.983685 |
0.016315 |
|
2 |
0.4 |
0.96 |
-0.28 |
0.947216 |
0.012784 |
|
3 |
0.6 |
0.904 |
-0.28 |
0.905009 |
0.001009 |
|
4 |
0.8 |
0.848 |
-0.2288 |
0.866913 |
0.018913 |
|
5 |
1 |
0.80224 |
-0.14688 |
0.839397 |
0.037157 |
Модифицированный метод Эйлера:
|
|
|
|
|
|
|
Точ.реш |
Погреш. |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0.2 |
1 |
-0.2 |
1 |
-0.18 |
0.983685 |
0.016315 |
|
2 |
0.4 |
0.964 |
-0.268 |
0.962 |
-0.244 |
0.947216 |
0.014784 |
|
3 |
0.6 |
0.9132 |
-0.2588 |
0.9108 |
-0.2342 |
0.905009 |
0.005791 |
|
4 |
0.8 |
0.86396 |
-0.20268 |
0.8615 |
-0.178 |
0.866913 |
0.005413 |
|
5 |
1 |
0.8259 |
-0.1191 |
0.823432 |
-0.09441 |
0.839397 |
0.015965 |
Схема Рунге-Кутта:
|
|
|
|
|
|
|
|
Погреш. |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
0.2 |
0.9837 |
-0.146 |
0 |
-1 |
-0.15 |
-0.486 |
1.79E-05 |
|
0.4 |
0.9472 |
-0.207 |
-0.146 |
-0.491 |
-0.209 |
-0.13 |
2.76E-05 |
|
0.6 |
0.905 |
-0.207 |
-0.207 |
-0.134 |
-0.209 |
0.113 |
3.18E-05 |
|
0.8 |
0.8669 |
-0.168 |
-0.207 |
0.1097 |
-0.17 |
0.272 |
3.25E-05 |
|
1 |
0.8394 |
-0.104 |
-0.168 |
0.2695 |
-0.105 |
0.37 |
3.09E-05 |
Как
можно видеть, максимальная погрешность,
определяемая как разность между точным
и рассчитанным значением функции
,
в методе Рунге-Кутта не превышает
.