7. Сформулируйте определение связи. Как математически выражаются связи, наложенные на систему?

Механическая система, точки которой могут занимать любое положение в пространстве и иметь любые скорости, называется свободной.

Если же на координаты и скорости точек наложены ограничения, не зависящие от приложенных активных сил и начальных условий, то система называется несвободной.

Ограничения движения точек механической системы, не зависящие от приложенных активных сил и начальных условий, называются связями.

Аналитическая запить связи: , .

Ограничивая движение механической системы, связи действуют на точки системы посредством сил, которые называются силами реакции связей.

8. Какая связь называется стационарной, голономной, удерживающей? Приведите примеры.

1. Голономные

, ,

s - число уравнений связей.

N - количество материальный точек в механической системе.

Эти связи накладывают ограничения на координаты точек системы, а значит - на положение системы в пространстве. Такие связи называют геометрическими.

Голономные связи могут описываться и дифференциальными уравнениями, однако они должны быть обязательно интегрируемыми.

2. Неголономные

, ,

Эти связи накладывают ограничения на скорости точек системы, поэтому их называют кинематическими. Дифференциальные уравнения неголономной связи не интегрируются, то есть их нельзя привести к уравнениям голономной связи.

3. Стационарные

Это связи, выражающиеся уравнениями или неравенствами, не содержащими в явном виде время.

Например: - это стационарная голономная связь.

4. Нестационарные

Это связи, выражающиеся уравнениями или неравенствами, содержащими время в явном виде.

Например: - это нестационарная голономная связь.

5. Удерживающие (двухсторонние)

Связь является таковой, если выражается равенством (=). Удерживающие связи сохраняют свое действие во все время движения точек системы.

6. Неудерживающие (односторонние)

Это связи, которые описываются неравенствами (<, >). Они могут в некоторые промежутки времени прекращать и возобновлять свое действие.

9. Дайте определение обобщенных координат механической системы. Каковы их обозначения?

Независимые между собой параметры, которые однозначно определяют положение механической системы в пространстве в любой момент времени, называются обобщенными координатами.

Обозначим обобщенные координаты механической системы через , .

s - число уравнений связей.

N - количество материальный точек в механической системе.

10. Дайте определение действительного и возможного перемещения точки. Каковы их обозначения и различия?

На точку наложена голономная удерживающая связь. Точка перемещается по поверхности (+). Этому уравнению удовлетворяют координаты точки в момент времени t.

Действительное перемещение:

Действительным перемещением точки за время dt называется такое элементарное перемещение, которое она фактически совершает в пространстве за время dt при данных связях. Действительное перемещение не зависит от действующих на точку сил, вида связи и от начальной скорости точки.

Через промежуток времени dt, под действием приложенных сил радиус-вектор точки и ее координаты x, y, z изменятся. Точка получить действительное перемещение: .

Уравнению связи (+) также должны удовлетворять новые координаты точки, то есть:

.

Разложим эту функцию в ряд Тейлора до членов I-ого порядка: (#)

Это разложение представляет собой условие, которому должны удовлетворять проекции вектора элементарного действительного перемещения точки.

Известно, что координаты точек и, следовательно их радиус-вектора можно выразить через обобщенные координаты ().

И тогда, действительное перемещение определяется совокупностью действительных приращений обобщенных координат, которые они получают в течение малого промежутка времени dt.

Элементарное действительное перемещение k-ой точки системы определяется как полный дифференциал функции при переменном времени:

Возможное перемещение:

Возможным называется любое допускаемое связями перемещение материальной точки из положения, занимаемого ею в данный момент времени, в бесконечно близкое положение, которое она может занимать в тот же момент времени. Возможные перемещения не связаны ни с движением точки, ни с изменением наложенных на нее связей. Они представляют собой воображаемые перемещения, которые можно представить совокупностью бесконечно малых векторов, зависящих только от структуры связей, зафиксированных в рассматриваемый момент времени.

Вектор называют вариацией радиус-вектора точки, а проекции на оси декартовой системы координат - вариациями координат. Их обозначают , , . Возможные перемещения должны удовлетворять дифференциальным соотношениям, вытекающим из уравнения связей, при условии, что время является фиксированным.

Пусть перемещение точки из положения, занимаемого ею в данный момент времени, в бесконечно близкое положение, допускаемое связями, происходит в результате изменения координат точки при фиксированном времени. Координаты точки с учетом вариации должны удовлетворять уравнению связи (+):.

Разложим эту функцию в ряд Тейлора до членов I-ого порядка: ($)

При наличии связи , вариации координат точки должны удовлетворять этому разложению. Так как t=const, то это разложение должно выполняться как для стационарных, так и для нестационарных связей. Для стационарной связи , и тогда разложение (#) совпадает с разложением ($).

Следовательно, если связь стационарная, то элементарное действительное перемещение точки совпадает с одним из возможных .

В случае нестационарной связи, проекции вектора удовлетворяют условию (#), но не совпадают с разложением ($) для проекций вектора . В этом случае элементарное действительное перемещение точки не принадлежит к числу возможных.

Известно, что координаты точек и, следовательно их радиус-вектора можно выразить через обобщенные координаты ().

Таким образом, возможное перемещение системы определяется совокупностью возможных перемещений обобщенных координат (время фиксировано).

Возможное перемещение можно вычислить как полный дифференциал функции при фиксированном времени: