- 14 -

Глава III. Волновая оптика

§ 3.1. Световая волна

Электромагнитные волны в диапазоне частот ν=(0,38…0,75)10¹⁵ Гц нормальный человеческий глаз воспринимает как свет. Его длина волны в вакууме λ=(0,4…0,76)10^-6 м. На рис. 3.1 представлена шкала электромагнитных волн.

Рис.3.1. Шкала электромагнитных волн

Источником света являются электроны атомов вещества. Электрон при переходе с верхнего энергетического уровня на нижний испускает квант энергии за время τ ≈ 10^-9. Его можно считать отрезком гармонической волны (см. рис. 2.3) в виде последовательности горбов и впадин, именуемый цугом. Длина цуга L=cτ ≈ 3 м. Видимый свет представляет собой сумму цугов, испущенных разными атомами вещества. Излучение искусственного источника света – лазера состоит из строго согласованных друг с другом цугов, образующих гармоническую волну. Такая волна называется монохроматической (одноцветной), она имеет строго определенную частоту. Излучение естественных источников света (солнце, раскаленные тела) состоит из цугов, испущенных разными атомами независимо друг от друга, и содержит колебания разных частот. Например, радуга, иногда возникающая на небе после дождя, есть результат разложения белого (сложного) цвета в сплошной спектр, представленный на рис.3.1. Он образован пространственно разделенными монохроматическими составляющими.

Свет, как всякая электромагнитная волна, представляет собой распространяющееся в пространстве электромагнитное поле (см. § 2.2). В вакууме скорость света с=3^.10⁸ м/с, в веществе его скорость υ=. В прозрачных средах μ=1 (они являются диа- или парамагнетиками), скорость света уменьшается в n= раз, где n- показатель преломления среды. Таким образом, показатель преломления указывает, во сколько раз уменьшается скорость света в веществе по сравнению с вакуумом:

n= (3.1)

В электромагнитной волне ее составляющие E и H однозначно связаны друг с другом. Поэтому в дальнейшем при теоретическом анализе мы будем рассматривать только одну составляющую – электрическое поле, описываемое формулой (2.14-а): E=E_m sin( t - 2x/). Частота колебаний энергии в световой волне столь велика, что глаз и измерительные приборы регистрируют не мгновенное, а среднее значение плотности потока энергии. Его называют измеряемой интенсивностью I:

I= (3.2)

§ 3.2. Интерференция. Когерентность.

Интерференция – явление, возникающее при определенных условиях при сложении двух (или более) волн. Оно проявляется в неарифметическом сложении энергии, когда в одних областях ее оказывается больше, а в других соответственно меньше, чем сумма энергий, приносимых каждой волной в отдельности. Интерференция свойственна волнам любой природы. Рассмотрим механизм этого явления (рис. 3.2). Пусть S₁ и S ₂ – два источника, испускающие волны с одинаковыми частотами. В некоторой точке М, отстоящей от источников на расстоянии l₁ и l₂ соответственно, они возбуждают одинаково направленные колебания с амплитудами A₁ и A₂ и фазами φ₁ и φ₂. Амплитуда результирующего колебания (см. формулу 1.28)

A²=A₁²+A₂²+2A₁A₂cos(₂-₁)

Учитывая, что измеряемая интенсивность (см. формулу 3.2) в данной точке пропорциональна квадрату амплитуды волнового поля, получаем:

I=I₁+I₂+2<cos(₂-₁)> .

Если разность фаз Δφ=₂-₁ со временем изменяется хаотически, то среднее за период колебаний значение <cos Δφ >=0, и в данной точке I=I₁+I₂. Получаем обычно наблюдаемый на опыте результат: энергия результирующей волны равна арифметической сумме энергий приходящих волн. Другими словами, если вместо одной лампочки мы включим две, то освещенность везде увеличится вдвое.

Иначе обстоит дело, если в данной точке разность фаз складываемых колебаний со временем не изменяется. В зависимости от знака <cos Δφ> интенсивность результирующей волны может быть больше или меньше алгебраической суммы интенсивностей складывающихся волн. В точках, где -1≤cos Δφ<0, I<I₁+I₂, и волны ослабляют друг друга. Там, где cosΔφ=-1 колебания происходят в противофазе, и A²=A₁²+A₂²-2A₁A₂=(А₁-А₂)². Амплитуда результирующего колебания минимальна: A=|А₁-А₂|. Вблизи таких точек освещенность наименьшая, и такие области называют минимумом интерференции. В случае, если А₁=А₂, то I=0, и волны полностью гасят друг друга: область минимума интерференции будет темной, неосвещенной. В точках, где 0<cosΔφ≤1, I>I₁+I₂, и волны усиливают друг друга. Там, где cosΔφ=1, A=А₁+А₂. Вблизи таких точек освещенность наибольшая, эти области называют максимумом интерференции. В частности, если А₁=А₂, то I=4I₁. При интерференции происходит перераспределение энергии вдоль фронта волны с образованием областей максимума и минимума. Интерференционная картина имеет вид чередующихся светлых и темных областей. При интерференционном сложении двух волн с одинаковыми амплитудами возникает парадоксальный с точки зрения арифметики результат сложения энергий двух волн, принесших в одну точку одинаковые энергии: 1+1=0 в точках минимума, и 1+1=4 в точках максимума.

Заметим, что интерференция возникает только при условии, когда в каждой точке суммарного волнового поля разность фаз складываемых волн не изменяется со временем: Δφ=const. Такие волны и их источники называются когерентными (согласованными).

Сформулируем условия максимума и минимума интерференции: в точках максимума cosΔφ=1, т.е. Δφ=2πк (к=0, 1, ±2,…, т.е. к –любое целое число). В точках минимума cosΔφ=-1, т.е. Δφ=π(2к+1). Фаза волны в данной точке зависит от ее расстояния от источника (см. формулу 2.4). Когерентными могут быть источники только с одинаковыми частотами и неизменными начальными фазами (для простоты будем считать, что их начальные фазы равны нулю), так что разность фаз когерентных волн зависит только от расстояний точки наблюдения от источников: Δφ=. При распространении света в веществе его частота не изменяется, скорость уменьшается в n-раз (n-показатель преломления), и во столько же раз уменьшается длина волны: λ= λ₀/n ( λ₀ –длина волны в вакууме, λ – в веществе). На одной и той же геометрической длине пути фаза волны в веществе изменяется в n-раз больше, чем в вакууме. Чтобы это учесть, вводят понятие оптической длины пути l_опт=nl. Если интерферирующие волны до встречи друг с другом распространялись в разных средах с показателями преломления n₁ и n₂ соответственно, то Δφ = . Обозначим оптическую разность хода волн δ=n₂l₂-n₁l₁, именно она определяет разность фаз складывающихся в данной точке волн: δ=. Получим еще одну формулу, выражающую условия максимума и минимума интерференции:

в точках максимума δ = (3.3-a)

в точках минимума δ = (3.3-б)

Здесь к - целое число, к=0, 1, ±2,… Полученные формулы показывают, что разность хода когерентных волны удобно измерять в половинках длин волн: при их четном числе волны дают максимум интерференции, при нечетном – минимум.

В § 3.1 мы отмечали, что свет естественных источников (раскаленных тел) состоит из хаотического нагромождения цугов волн, так что это некогерентные источники. Для получения когерентных волн нужно один цуг разделить на два, каждый из которых идет своим путем, а затем они вновь сходятся. На рис. 3.3 показан такой пример. На границу раздела двух сред с показателями преломления n₁ и n₂ падает в точку А луч и делится на два – отраженный и преломленный. Каждый из этих лучей отражается от зеркал В и С соответственно, и они вновь сходятся в точке Д. Если оптическая разность хода этих лучей меньше длины когерентности, т.е. длины цуга (см. § 3.1), то в точку Д будут приходить когерентные волны с неизменной разностью фаз и интерферировать.