стр. 41 из 41

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МИРОВОЗЗРЕНИЯ, УПП 2 КУРС

Р А З Д Е Л 1. Ф И З И К А К О Л Е Б А Н И Й И В О Л Н

Глава I. Свободные колебания.

§ 1.1. Гармонический осциллятор.

Рассмотрим груз, закрепленный на упругой пружине. Эта физическая система называется пружинным маятником, если груз можно считать материальной точкой, а пружину - невесомой и идеально упругой. При деформации пружины груз движется вдоль оси x, начало которой (х=0) совместим с положением равновесия груза (рис1 - а). Растяжению пружины соответствует х>0, сжатию - х<0. Сместим груз из положения равновесия (рис1 - б)., отпустим его и рассчитаем его дальнейшее движение. Для этого составим и решим уравнение движения. Для материальной точки таковым является уравнение второго закона Ньютона: ma=F. Будем считать, что трение при движении груза пренебрежимо мало. На груз действуют три силы: тяжести mg, реакция опоры N и упругости пружины F. Движение груза одномерное. Проекции на ось x силы тяжести и реакции опоры равны нулю, силы упругости F= -kx, так что уравнение движения в проекции на ось x примет вид: ma = - kx. Учитывая, что a=d²x/dt², получили md²x/dt² = -kx, где m-масса и k-коэффициент жесткости - постоянные. Введем новую постоянную:

 ²=k/m (1.1)

Уравнение движения примет вид дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части:

(1.2)

Из математики известно¹, что его решение имеет вид гармонической функции:

x=Asin( t + ₀)=Acos( t+ ₀^’) (1.3)

где A, ₀,₀^’ - постоянные, зависящие от начальных условий, при этом ₀ =₀^’+/2.

Выясним физический смысл полученного результата.

x - координата, т.е. смещение груза из положения равновесия представляет собой знакопеременную величину. Почему? Упругая сила всегда направлена к положению равновесия и, казалось бы, должна вернуть груз в точку x=0. Однако по мере приближения к ней скорость груза растет, он по инерции минует эту точку, и его смещение меняет знак, увеличиваясь по модулю. Теперь направления упругой силы и скорости противоположны, так что движение замедляется, пока скорость не уменьшится до нуля. После этого груз, ускоряясь, начинает двигаться к положению равновесия, и рассмотренный процесс повторяется. Такое многократно повторяющееся изменение состояния физической системы называют колебаниями.

Колебания свойственны различным формам движения материи и хорошо знакомы нам. Примеры механических колебаний - движения маятников, шатунов, рессор, морские приливы и отливы, звук. Примеры электромагнитных колебаний - переменный электрический ток, процессы в колебательных контурах различных приемников и передатчиков электромагнитных средств связи, свет и т. д. По образному выражению крупного российского физика начала ХХ века Мандельштама в физике есть языки “национальные”- механики, акустики, оптики, электродинамики и есть “интернациональный” язык теории колебаний. Колебания любой физической природы описываются одинаковым математическим аппаратом, поэтому мы подробно рассмотрим только механические колебания и используем упомянутую аналогию при рассмотрении колебаний другой физической природы.

Общими для возникновения колебаний любой природы являются два условия. Первое состоит в том, что система имеет положение устойчивого равновесия. Это означает, что такому положению соответствует минимум потенциальной энергии системы, и что при отклонении от него возникает возвращающая сила F= -kx (в рассматриваемом случае это упругая сила), стремящаяся вернуть систему в равновесие. Второе условие - это инерционность системы, которая не позволяет ей остановиться в положении равновесия.

Колебания, которые совершает система, выведенная из положения равновесия и предоставленная самой себе, называются свободными. Если система колеблется под действием только внутренних сил (силами трения можно пренебречь), как в рассмотренном примере пружинного маятника, то ее колебания называются собственными.

Движение (процесс) называется периодическим, если каждое состояние системы повторяется через определенный промежуток времени. Его называют периодом - Т. Из этого определения следует:

x(t)=x(t+nT) (1.4)

где n-любое целое число.

Другая характеристика периодических процессов - частота  равна числу колебаний в единицу времени. Следовательно,

 = 1/T (1.5)

Простейшим типом периодических колебаний являются гармонические, при которых изменение характеристик состояния системы происходит по гармоническому закону, т.е. по закону синуса или косинуса (1.3). Этот тип колебаний часто встречается в природе и в технике, он наиболее прост с точки зрения математического описания и, что особенно важно, периодический процесс любого вида (и даже не периодический) может быть представлен как сумма конечного или бесконечного числа гармонических колебаний с разными частотами. В математике такому гармоническому анализу соответствует разложение в ряд Фурье, в физике - разложение в спектр. Спектральный анализ широко применяется в науке и в технике. Таким образом, изучение гармонических колебаний открывает широкие возможности анализа и понимания различных физических процессов.

Система, совершающая колебания, называется осциллятором (от латинского oscillare -колебаться). Закон движения гармонического осциллятора выберем в виде (см.формулу 1.3):

x =A sin(t+₀) (1.6)

и вспомним известный из школы смысл входящих в него величин.

x - смещение, т.е. отклонение колеблющейся величины от положения равновесия, принятого за начало отсчета.

A - амплитуда, т.е. максимальное смещение, A=const. В нашем примере (рис.1) амплитуда равна начальному смещению груза из положения равновесия, т.е. величину амплитуды задает сообщенная системе энергия колебаний,

=(t+₀) - фаза колебаний, аргумент гармонической функции, в СИ измеряется в радианах ₀ - значение фазы при t=0 называют начальной фазой. Фаза определяет состояние системы в каждый момент времени и является линейной функцией времени. Если два колебания имеют разные фазы, то говорят, что они сдвинуты по фазе. При сдвиге по фазе на  говорят, что колебания происходят в противофазе. Колебания с одинаковыми фазами или с разностью фаз, кратной 2, называют синфазными.

 - круговая или циклическая частота, в СИ измеряется в рад/с. Из формулы (1.2) видно, что частота определяется параметрами колебательной системы: упругостью и массой маятника и не зависит от величины начального смещения. Используя соотношения (1.4) и (1.5), самостоятельно убедитесь в том, что

 =2/T=2 (1.7)

Таким образом, круговая (циклическая) частота равна числу колебаний за 2 единиц времени и является аналогом угловой скорости при вращательном движении, если под T понимать период вращения.

Рис.1.2

Аналогию между колебательным и вращательным движениями можно продолжить, рассматривая фазу колебаний как угол поворота и изображая гармоническое колебание вектором (рис. 1.2). Пусть вектор, модуль которого равен амплитуде колебаний A, равномерно вращается в плоскости xy вокруг неподвижного центра O с постоянной угловой скоростью . Угол, образованный им с осью диаграммы, равен фазе колебаний. Проекции вектора на оси диаграммы x и y изменяются по гармоническому закону, причем закону в форме (1.6) соответствует проекция на ось y.

Вернемся к рассмотрению пружинного маятника. Как следует из формул (1.1) и (1.7), его период колебаний:

T=2 (1.8)

В рассматриваемом нами примере пружинного маятника его движение задано внутренними силами, поэтому формулы (11.1) и (11.8) выражают соответственно круговую частоту и период собственных колебаний. Обратите внимание, что они заданы собственными параметрами колебательной системы - m и k и не зависят от начальных условий, в частности, от амплитуды колебаний. Чем больше инертность (масса) маятника, тем медленнее изменяется его движение. С другой стороны, чем больше жесткость пружины, тем быстрее реагирует груз на ее воздействие.

Проанализируем другие характеристики гармонического колебательного движения, используя известные из механики соотношения =dx/dt, a=d/dt, F=ma. Помимо смещения -x гармонически изменяются скорость - , ускорение - a, возвращающая сила - F, причем, все они колеблются с одинаковыми частотами. Убедитесь в этом самостоятельно, а также в том, что соответствующие амплитуды равны:

_max =A, a_max=A², F_max=ma² (1.9)

и что сдвиг по фазе между скоростью и смещением составляет /2 , ускорение и смещение колеблются в противофазе, а колебания возвращающей силы и ускорения синфазны.

Для возбуждения колебаний систему надо вывести из положения равновесия, т.е. сообщить ей дополнительную энергию. Возвращающая сила F= -kx создает потенциальную энергию:

W_п = kx²/2 = (kA²/2) sin²(t+₀ ) (1.10)

Движущееся тело обладает энергией кинетической

W_к =m²/2 = (mA²²/2) cos²(t+₀). (1.11)

Значения потенциальной и кинетической энергий при колебаниях изменяются, при этом полная механическая энергия сохраняется:

W=W_к+W_п = kA²/2 = mA²/2 (1.12)

Это закономерно, так как колебания осциллятора происходят под действием консервативной силы. Проанализируйте самостоятельно, в каких состояниях осциллятор имеет только потенциальную энергию, а в каких только кинетическую, и как происходят взаимные превращения этих видов энергии друг в друга.