Теорема 2
Пусть и - квадратные матрицы . Тогда .
Вычисление определителя с помощью разложения по строке (по столбцу)
Определение 24
Для квадратной матрицы минором элемента называется определитель матрицы, получаемой из матрицы вычеркиванием -ой строки и -того столбца.
Замечание
В определении минора вычеркивается строка и столбец, на пересечении которых стоит элемент .
Определение 25
Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется число .
Пример
Лемма
Определитель матрицы равен .
Доказательство
Лемма
Определитель матрицы , в которой для фиксированного , при , равен .
Доказательство
Переставим последовательно строки -ую и -ую, затем -ую и -ую и т.д. Получим матрицу
В полученной матрице переставим последовательно -ый столбец с -ым, -ый с -ым. Получим следующую матрицу:
По предыдущей лемме определитель этой матрицы равен . При перестановке строк и столбцов мы сделали перестановок, поэтому определитель исходной матрицы равен .
Теорема 3
Определитель матрицы может быть вычислен по формуле . Эта формула носит название разложения по строке.
Доказательство
Строка может быть представлена линейной комбинацией строк
По следствию, сделанному ранее и предыдущей лемме получаем
Теорема 4
Определитель матрицы может быть вычислен по формуле (разложение по столбцу).
Пример
Обратная матрица
Определение 26
Матрица называется обратной к матрице , если , где - единичная матрица.
Замечание
Матрицы и коммутируют. Матрицы и квадратные. Обратная матрица к матрице обозначается .
Свойства
Пусть матрицы и имеют обратные и . Тогда
1) 2) 3)
Доказательство
1) . Значит матрица является обратной к матрице ..
2)
3)
Значит
Теорема 5
Если матрица имеет обратную, то обратная матрица единственная.
Доказательство
Пусть и . Тогда .
Определение 27
Матрица, имеющая обратную матрицу называется обратимой.
Замечание
Существуют необратимые матрицы.
Теорема 6
Если матрица - обратимая, то .
Доказательство
Так как обратима, то такая, что .
Лемма
Для квадратной матрицы выполняется при при .
Доказательство
Докажем, что при .
Рассмотрим матрицу
Теорема 7
Для матрицы такой, что обратная матрица может быть найдена по формуле
, где - алгебраическое дополнение элемента матрицы .
Доказательство
Возьмем
По лемме и теореме о разложении по строке
Поэтому . Аналогично доказывается для .