Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МИФИ - Линейная алгебра.doc
Скачиваний:
11
Добавлен:
07.12.2018
Размер:
1.18 Mб
Скачать

Теорема 2

Пусть и - квадратные матрицы . Тогда .

Вычисление определителя с помощью разложения по строке (по столбцу)

Определение 24

Для квадратной матрицы минором элемента называется определитель матрицы, получаемой из матрицы вычеркиванием -ой строки и -того столбца.

Замечание

В определении минора вычеркивается строка и столбец, на пересечении которых стоит элемент .

Определение 25

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется число .

Пример

Лемма

Определитель матрицы равен .

Доказательство

Лемма

Определитель матрицы , в которой для фиксированного , при , равен .

Доказательство

Переставим последовательно строки -ую и -ую, затем -ую и -ую и т.д. Получим матрицу

В полученной матрице переставим последовательно -ый столбец с -ым, -ый с -ым. Получим следующую матрицу:

По предыдущей лемме определитель этой матрицы равен . При перестановке строк и столбцов мы сделали перестановок, поэтому определитель исходной матрицы равен .

Теорема 3

Определитель матрицы может быть вычислен по формуле . Эта формула носит название разложения по строке.

Доказательство

Строка может быть представлена линейной комбинацией строк

По следствию, сделанному ранее и предыдущей лемме получаем

Теорема 4

Определитель матрицы может быть вычислен по формуле (разложение по столбцу).

Пример

Обратная матрица

Определение 26

Матрица называется обратной к матрице , если , где - единичная матрица.

Замечание

Матрицы и коммутируют. Матрицы и квадратные. Обратная матрица к матрице обозначается .

Свойства

Пусть матрицы и имеют обратные и . Тогда

1) 2) 3)

Доказательство

1) . Значит матрица является обратной к матрице ..

2)

3)

Значит

Теорема 5

Если матрица имеет обратную, то обратная матрица единственная.

Доказательство

Пусть и . Тогда .

Определение 27

Матрица, имеющая обратную матрицу называется обратимой.

Замечание

Существуют необратимые матрицы.

Теорема 6

Если матрица - обратимая, то .

Доказательство

Так как обратима, то такая, что .

Лемма

Для квадратной матрицы выполняется при при .

Доказательство

Докажем, что при .

Рассмотрим матрицу

Теорема 7

Для матрицы такой, что обратная матрица может быть найдена по формуле

, где - алгебраическое дополнение элемента матрицы .

Доказательство

Возьмем

По лемме и теореме о разложении по строке

Поэтому . Аналогично доказывается для .

32