8.5. Малая выборка

В практике статистического исследования в условиях рыночной экономики все чаще приходится сталкиваться с небольшими по объему так называемыми малыми выборками. Под малой выборкой понимает­ся такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не пре­вышает 30. В настоящее время малая выборка используется более широ­ко, чем раньше, прежде всего за счет статистического изучения деятель­ности малых и средних предприятий, коммерческих банков, фермерских хозяйств и т.д. Их количество в определенных случаях, особенно при ре­гиональных исследованиях, а также величина характеризующих их по­казателей (например, численность занятых) часто незначительны. По­этому хотя общий принцип выборочного обследования (с увеличением объема выборки повышается точность выборочных данных) остается в силе, иногда приходится ограничиваться малым числом наблюдений. Наряду со статистическим изучением рыночных структур эта необходи­мость возникает при выборочной проверке качества продукции, в науч­но-исследовательской работе и в ряде других случаев.

При оценке результатов малой выборки величина генеральной дисперсии в расчетах не используется. Для определения возможных пределов ошибки пользуются так называемым критерием Стьюдента, определяемым по формуле:

,

где - мера случайных колебаний выборочной средней в малой выборке.

Приведем выдержку из таблицы распределения Стьюдента.

Таблица 8.6.

Распределение вероятности в малых выборках в зависимости от коэффициента доверия t и объема выборки n*

t n	4	5	6	7	8	9	10	15	20	∞
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0	348 608 770 860 933 942	356 626 792 884 946 960	362 636 806 908 955 970	366 644 816 908 959 970	368 650 832 914 963 980	370 654 828 920 966 938	372 656 832 924 968 984	376 666 846 936 975 992	378 670 850 940 978 992	383 683 865 954 988 997

*При n = ∞ в таблице даны вероятности нормального распределения. Для определения вероятности соответствующие табличные значения следует разделить на 1000.

Как видно из таблицы, при увеличении n это распределение стремится к нормальному и при n = 20 уже мало от него отличается.

Покажем, как пользоваться таблицей распределения Стьюдента.

Пример 9. Предположим, что выборочное обследование 10 рабочих малого предприятия показало, что на выполнение одной из производственных операций рабочие затрачивали времени (мин.): 3,4; 4,7; 1,8; 3,9; 4,2; 3,9; 4,2; 3,9; 3,7; 3,2; 2,2; 3,9. Найдем выборочные средние затраты:

мин.

Выборочная дисперсия:

Отсюда средняя ошибка малой выборки равна:

мин.

По таблице 8.6. находим, что для коэффициента доверия t = 2 и объема малой выборки n = 10 вероятность равна 0,924. Таким образом, с вероятностью 0,924 можно утверждать, что расхождение между выборкой и генеральной средними лежит в пределах от до , т.е. разность не превысит по абсолютной величине 0,56 (2×0,28). Следовательно, средние затраты времени по всей совокупности будут находится в пределах от 2,93 до 4,05 мин. Вероятность того, что это предположение в действительности неверно и ошибка по случайным причинам будет по абсолютной величине больше, чем 0,56, равна: 1-0,924 = 0,076.