9.7. Ранговые коэффициенты связи

В анализе социально-экономических явлений часто приходится прибегать к различным условным оценкам с помощью рангов, а взаимо­связь между отдельными признаками измерять с помощью непарамет­рических коэффициентов связи.

Ранжирование – это процедура упорядочения объектов изучения, которая выполняется па основе предпочтения.

Ранг – это порядковый номер значений признака, расположенных в порядке возрастания или убывания их величин. Если значения признака имеют одинаковую количественную оценку, то ранг всех этих значений принимается равным средней арифметической из соответствующих но­меров мест, которые определяют. Данные ранги называются связными.

Среди непараметрических методов оценки тесноты связи наи­большее значение имеют ранговые коэффициенты Спирмена () и Кен­далла (). Эти коэффициенты могут быть использованы для определе­ния тесноты связи как между количественными, так и между качествен­ными признаками.

Коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена) рассчитывается по формуле:

(9.19)

где - квадраты разности рангов;

n – число наблюдений (число пар рангов).

Коэффициент Спирмена принимает любые значения в интервале [-1; l].

Пример. По данным группам предприятий, выставившим акции на чековые аукционы в отчётном г. определить с помощью коэффициента Спирмена зависимость между величиной уставного капитала и количе­ством выставленных акций.

Таблица 9.12.

Расчет коэффициента Спирмена

№ предприятия	Уставный капитал (млн. руб.) (X)	Число выставленных акций (Y)	Ранги		Разность рангов
1	2	3	8	9	10	11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	2954 1605 4102 2350 2625 1795 2813 1751 1700 2264	856 930 1563 682 616 495 815 858 467 661	9 1 10 6 7 4 8 3 2 5	7 9 10 5 3 2 6 8 1 4	2 -8 0 1 4 2 2 -5 1 1	4 64 0 1 16 4 4 25 1 1
∑						120

(связь слабая).

Ранговый коэффициент корреляции Кендалла также сожжет использоваться для измерения взаимосвязи между качественными и количественными признаками, характеризующими однородные объекты и ранжированные по одному принципу. Расчет рангового коэффициента Кендалла осуществляется по формуле:

(9.20.)

где n – число наблюдений;

S – сумма разностей между числом последовательностей и числом инверсий по второму признаку.

Расчет данного коэффициента выполняется в следующей последовательности:

Значения X ранжируются в порядке возрастания или убывания.

Значения Y располагаются в порядке, соответствующем значениям X.

Для каждого ранга Y определяется число следующих за ним значений рангов, превышающих его величину. Суммируя таким образом числа определяется величина P, как мера соответствия последовательностей рангов по X и Y и учитывается со знаком (+).

Для каждого ранга Y определяется число следующих за ним значений рангов, меньших его величины. Суммарная величина обозначается через Q и фиксируется со знаком (-).

Определяется сумма баллов по всем членам ряда.

В приведенном примере (таблица 9.12.)

P=1+8+1+6+4+3+3+2+1=29

Q=(-8)+0+(-6)+0+(-1)+(-1)+0+0+0= -16

Таким образом:

что свидетельствует о практическом отсутствии связи между рассматриваемыми признаками.

Как правило, коэффициент Кендалла меньше коэффициента Спирмена. При достаточно большом объеме совокупности значения Данных коэффициентов имеют следующую зависимость:

Связь между признаками признается статистически значимой, ес­ли значения коэффициентов ранговой корреляции Спирмена и Кендалла больше 0,5.

Для определения тесноты связи между произвольным числом ранжированных признаков применяется множественный коэффициент ранговой корреляции (коэффициент конкордации) W, который вычисляется по формуле:

(9.21.)

где m – количество факторов;

n – число наблюдений;

S – отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов.

Пример. Одновременно с проведенными выше расчетами определялась теснота связи между уставным капиталом, числом выставленных акций и числом занятых на этих предприятиях.

Таблица 9.13.

Расчет коэффициента конкордации

№ предприятия	Уставный капитал (млн. руб.) (X)	Число выставленных акций (Y)	Число занятых на предприятиях (Z)				Сумма строк	Квадраты сумм
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	2954 1605 4102 2350 2625 1795 2813 1751 1700 2264	856 930 1563 682 616 495 815 858 467 661	119 125 132 141 150 165 178 181 201 204	9 1 10 6 7 4 8 3 2 5	7 9 10 5 3 2 6 8 1 4	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	17 12 23 15 15 12 21 19 12 19	289 144 529 225 225 144 441 361 144 361
∑							165	2863

,

что свидетельствует о слабой связи между рассматриваемыми признаками.

Ранговые коэффициенты Конкордации, Спирмена и Кендалла имеют то преимущество, что с помощью их можно измерять и оценивать связи, как между количественными, так и между атрибутивными признаками, которые поддаются ранжированию.