- •1 Условие монотонности функции на числовом промежутке
- •2 Необходимое и достаточное условие экстремума функции в точке
- •Достаточное условие существования экстремума
- •3 Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
- •4 Выпуклые функции. Точки перегиба
- •5 Асимптоты функций
- •6 Полная схема общего исследования функции и построение ее графика
- •Результаты исследования оформим в виде таблицы
2 Необходимое и достаточное условие экстремума функции в точке
Определение Точка х0 из D(f) называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f(х), если для всех х из некоторой – окрестности U(х0,) точки х0, х х0, выполняется неравенство
f(х) < f(х0) [f(х) > f(х0)] (1)
Точки локального максимума и локального минимума называются точками локального экстремума.
Значения функций в этих точках называются соответственно локальным максимумом или локальным минимумом (локальными экстремумами функции).
Из определения следует, что понятие экстремума носит локальный характер в том смысле, что в случае экстремума неравенство (1) не обязательно выполняется для всех хD(f), а лишь в некоторой окрестности U(х0,) точки х0.
Т.о., функция может иметь несколько локальных максимумов (минимумов), причем может оказаться, что локальный максимум меньше, чем локальный минимум.
У лок. max
лок. max лок. min
лок. min
О х
Теорема 1 Необходимое условие существование экстремума Если функция определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет в ней локальный экстремум, тогда эта функция
1) либо дифференцируема в точке х0 и ,
2) либо недифференцируема в точке х0.
Пример В точке х0= 0 функция недифференцирума, но имеет локальный минимум.
Замечание Условия теоремы 1 являются лишь необходимыми условиями существования экстремума.
Следствие Из теоремы 1 вытекает, что точки локального экстремума функции следует искать среди корней уравнения и точек, где производная не существует.
Точки, в которых производная не существует или равна нулю называются критическими точками первого рода или точками подозрительными на экстремум.
Точки, для которых выполняется условие , называются стационарными.
-
Пример 1. Для функции y1= х3
при х=0,
но в этой точке данная функция экстремума не имеет.
у y1= х3
О х
2. Для функции производная
не существует при х = 0, но в этой точке экстремума нет.
х
Достаточное условие существования экстремума
Теорема 2 Первое достаточное условие существования экстремума Пусть функция f(х) определена и непрерывна в некоторой – окрестности U(х0,) точки х0 и дифференцируема в проколотой окрестности U(х0,) точки х0, тогда
1) если при х(х0– ;0) и при х(х0; х0+), то функция f(х) имеет в точке х0 локальный максимум.
+ –
х0– х0 х0+ х
2) если при х(х0– , х0) и при х(х0, х0+), то функция f(х) имеет в точке х0 локальный минимум.
– +
х0– х0 х0+ х
3) если при хU(х0,) или при хU(х0,), то в точке х0 функция f(х) не имеет локального экстремума.
+ +
х0– х0 х0+ х
– –
х0– х0 х0+ х
Следствие Правило отыскания экстремума функции:
1. Найти D(f) – область определения функции f(х).
2. Найти критические точки:
а) стационарные точки( где производная равна нулю);
б) точки, где функция f(х) недифференцируема.
3. Исследовать знак производной функции f(х) в окрестности каждой из этих точек, и сделать вывод о существовании экстремума.
Замечание Результаты исследования целесообразно оформлять в виде таблицы.
Пример Исследовать на монотонность и экстремум функцию у = х 4 – 2 х 2 +1.
1) D(f) = R. 2) , .
3)
х |
(-;-1) |
-1 |
(-1;0) |
0 |
(0;1) |
1 |
(1;+) |
|
– |
0 |
+ |
0 |
– |
0 |
+ |
f(х) |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
лок.min лок.max лок.min
Пример Исследовать на монотонность и экстремум функцию .
1) D(f)=R. 2) .
Ни при каких значениях переменной х производная не равна нулю, следовательно стационарных точек нет. При х = 0, производная не существует, но х=0D(f), следовательно х = 0 – критическая точка.
х |
(-;0) |
0 |
(0;+) |
|
– |
не существует |
+ |
f(х) |
|
0 лок.min |
|
у
О х
Теорема 3 Второе достаточное условие существование экстремума. Пусть функция f(х) определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки х0 и , тогда, если f(х) имеет в точке х0 вторую производную отличную, от нуля, то f(х) имеет в точке х0
-
локальный минимум, если ; 2. локальный максимум, если .
Замечание Второй достаточный признак существования экстремума имеет более узкий круг применения. Его нельзя использовать для определения существования экстремума функции в тех точках, где функция не имеет второй производной или .
Следствие Правило отыскания экстремума функций, для которых выполняются условия теоремы 3:
1. Найти область определения функции D(f).
2. Найти стационарные точки.
3. Вычислить для стационарных точек.
4. Для стационарных точек определить знак второй производной и сделать вывод о характере локального экстремума.
Пример Исследовать на экстремум функцию .
1) D(f)=R. 2) при х = 1, следовательно х = 1 – стационарная точка.
3) .
4) <0, следовательно точка х =1 является точкой максимума .