5 Асимптоты функций

Если кривая какой–либо своей частью неограниченно удаляется от начала координат, то эта часть может иногда иметь асимптоту – прямую, к которой кривая неограниченно приближается или с одной стороны, но не пересекая ее.

Различают вертикальные и наклонные асимптоты.

Определение 1 Прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика функции f(х), если хотя бы один из пределов

равен либо + , либо – .

Пример Для функции следовательно, прямая является ее вертикальной асимптотой.

Определение 2 Прямая y = kх + b – называется наклонной асимптотой графика функции f(х) при х +  (при х – ), если

f(х) = k х + b + (х), где .

Теорема 1 Для того, чтобы прямая y = k х + b была наклонной асимптотой функции f(х) при х +  (х – ), необходимо и достаточно, чтобы существовали два конечных предела

Если в уравнении y = kх + b: k = 0, то наклонная асимптота вырождается в горизонтальную асимптоту

у =b.

Следствие Функция f(х) тогда и только тогда имеет горизонтальную асимптоту, когда .

Пример Найти асимптоты функции .

1), 2) , 3) , ,

следовательно, – вертикальная асимптота. следовательно, – горизонтальная асимптота. следовательно, наклонных асимптот нет.

у О х О х

6 Полная схема общего исследования функции и построение ее графика

Исследование заданной функции и построение ее графика целесообразно проводить в следующем порядке:

1. Найти область определения функции.

2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Выяснить, не является ли функция четной или нечетной, периодической.

3. Исследовать функцию на непрерывность найти точки разрыва, выяснить характер разрыва.

4. Найти асимптоты графика функции. Если их нет, то выяснить поведение функции в граничных точках области определения.

5. Найти критические точки первого рода. Определить интервалы монотонности функции и точки экстремума. Вычислить значения функции в этих точках.

6. Найти критические точки второго рода. Определить интервалы выпуклости вверх и вниз, точки перегиба функции. Вычислить значение функции в этих точках

7. Построить график функции. При необходимости, найти несколько вспомогательных точек графика.

Пример Провести полное исследование и построить график функции .

Исследование данной функции проведем в соответствии с предложенной схемой.

1. D(f) = (–;–1)(–1;+).

2. y = 0 при х = 1, следовательно, (1;0) – точка пересечения графика с осью ОХ.

х = 0 при y = –1, следовательно, (0;–1) – точка пересечения графика с осью ОY.

Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

3. Т.к. функция элементарная, то она непрерывна в области определения. х = –1 – точка разрыва функции.

следовательно – точка разрыва второго рода.

4. Из п.3 следует, что х = –1 – вертикальная асимптота.

Найдем наклонные асимптоты y = kх + b.

Т.о., наклонной асимптотой при х +  и при х –  является прямая y = х – 5.

Производная равна нулю при х = 1 и при х = –5, следовательно, х = 1 и х = –5 – стационарные точки. Производная не существует при х = –1, т.е. х = –1 – критическая точка.

6) –? .

Найдем с помощью логарифмической производной, т.е. по формуле

.

Тогда . при х = 1.