- •Матрицы и действия над ними.
- •Понятие определителя и его свойства. Вычисление определителя с помощью метода Сарруса.
- •Обратная матрица. Алгоритм нахождения.
- •Применение обратной матрицы для решения систем линейных уравнений, матричные уравнения.
- •Действия над векторами в координатах.
- •Разложение вектора в базисе, скалярное произведение и его свойства.
- •Уравнения линий второго порядка.
- •Числовая функция, способы задания, свойства, графики, преобразование графиков.
- •Производная сложной и обратной функции, приложение производной к решению задач.
- •Дифференциал, его геометрический смысл, вычисление дифференциала сложной функции.
- •Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •Определение и геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница для вычисления площади криволинейной трапеции.
- •Определение несобственного интеграла и его вычисление.
- •Дифференциальные уравнения и их решение.
- •Интегрирование по формулам прямоугольников и трапеций.
-
Обратная матрица. Алгоритм нахождения.
Ответ:
Невырожденная квадратная матрица – это матрица, определитель которой не равен нулю.
Вырожденная квадратная матрица – это матрица, определитель которой равен нулю.
где Е – единичная матрица
Если квадратная матрица А невырожденная, то для нее существует обратная матрица А-1, которая задаётся условием:
Матрица А* называется союзной к квадратной матрице А, если элементы матрицы А* равны алгебраическим дополнениям соответствующих элементов матрицы А.
=>
Теорема: Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
Алгоритм нахождения:
-
Применение обратной матрицы для решения систем линейных уравнений, матричные уравнения.
Ответ:
Используя обратную матрицу, можно решить систему линейных уравнений, у которой число уравнений равно числу неизвестных, если detA-1 ≠ 0.
где X – матрица неизвестных, B – матрица свободных членов.
Обозначим:
, ,
-
Матричные ур-я.
При таких обозначениях систему линейных уравнений
Можно записать в матричной форме: или
Если матрица А невырожденная, то решение записывается так:
или
-
Действия над векторами в координатах.
Ответ:
Вектор – это множество всех направлений отрезков, имеющих длину и направление.
- нулевой вектор – вектор, длинна, которого равна нулю.
Расстояние между точками.
Если даны две точки на заданной плоскости, то расстояние между ними (d) вычисляется по формуле:
Деление отрезка в заданном отношении.
Пусть две точки . Возьмем точку , делящую отрезок в отношении
Отсюда:
Единичный вектор – вектор, длина которого равна единице.
Если
Векторы Эту тройку векторов называют ортонормированным базисом.
Радиус-вектором точки – это вектор , идущий из начала координат. в точку М.
Действия с векторами в координатной форме.
Если даны точки .
Пусть
-
Разложение вектора в базисе, скалярное произведение и его свойства.
Ответ:
Координаты вектора.
Пусть:
х - проекция вектора на ось OX, т.е. х = ОМ1
y - проекция вектора на ось OY, т.е. y = ОМ2
z - проекция вектора на ось OZ, т.е. z = ОМ3
Тогда разложение вектора :
x, y, z – координаты вектора , равны:
Направляющие косинусы.
Направляющие косинусы вектора можно вычислить по формулам:
Свойства скалярного произведения:
Длина вектора:
Скалярное произведение векторов
-
Уравнения линий второго порядка.
Ответ:
К прямым 2го порядка относятся: окружность, гипербола и парабола.
Общее ур-е 2го порядка:
Окружность – геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от точки A(a,b) на расстоянии R.
Каноническое ур-е окружноси:
Эллипс – геометр. место точек, сумма расстояния от каждой из которых до 2х точек той же плоскости F1 и F2 (фокусы), есть величина постоянная, равная 2а.
r1,r2 – фокальные радиусы точки M(x,y). r1 + r2 = 2a
0b – малая площадь
c (0a)- большая площадь
F1F2- фокальное расстояние. |F1F2|=2a
Каноническое ур-е эллипса:
– эксцентриситет эллипса
Гипербола – геометр. место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости F1 и F2 (фокусы), есть величина постоянная, равная 2а.
Каноническое ур-е гиперболы:
0b – мнимая площадь
0а – действительная площадь
Пунктирные линии – это асимптоты гиперболы
– эксцентриситет
Парабола – геометр. место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости
r – фокусный радиус.
Каноническое ур-е параболы: