8. Числовая функция, способы задания, свойства, графики, преобразование графиков.

Ответ:

Переменная y называется функцией от х, если по некоторому правилу или закону.

Для указания этого факта, что y есть функция от х, пишут: y=f(x), y = y(x), y = F(x) и т.п.

Три способа задания функции: аналитический, табличный и графический.

Аналитический способ - зависимость между переменными величинами задается в виде формулы (аналитического выражения).

Пример:

Табличный способ - задание таблицы, в которой различным значениям аргументапоставлены соответствующие значения функции:

х	х1	х2	…	хn
y	y1	y2	…	yn

Графический способ - задается некоторая кривая. Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность.

Свойства функции:

1. Четная – функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

2. Нечетная - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

3. Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.

График функции y=f(x) - множество всех точек плоскости OXY, для каждой из которых является аргумент x – абсцисса, а y – соответствующим значением функции (ордината).

Преобразование графиков:

Параллельный перенос вдоль оси ОХ
Параллельный перенос вдоль оси ОУ
Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси ОХ	k>1 0<k<1
Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси ОY	k>1 0<k<1
Преобразование симметрии относительно ОХ
Преобразование симметрии относительно ОУ
Построение графика Части графика, которая лежит выше и на оси ОХ, остаются без изменения, а ниже оси ОХ – симметрично отражаются относительно этой оси.
Построение графика Части графика, которая лежит левее оси ОУ - удаляются, а правее оси ОУ – остаются без изменения и симметрично отражаются относительно этой оси.

9. Производная сложной и обратной функции, приложение производной к решению задач.

Ответ:

Производной функции y=f(x)  в точке х₀ - предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, и при условии, что этот предел существует.

Если функция y=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a,b), то такая функция называется дифференцируемой.

Производная сложной функции.

Пусть функция u=g(x) дифференцируема в точке х₀, u₀=g(x₀), а функция y = f(u) дифференцируема в точке u₀.

Тогда, если то ;

Производная обратной функции.

Пусть y=f(x)   - дифференцируема в точке x, f^'(x)≠0 и f(x) - монотонная функция в достаточно малой окрестности точки x.

Тогда f(x) имеет обратную функцию x = φ(y), которая также является непрерывной и монотонной по y, дифференцируемой по y, и ее производная находится по формуле:

Приложение производной к решению задач.

Скорость:

Ускорение:

Сила тока в цепи:

Магнитная индукция: , где Ф – маг. поток.

Сила:

Теплоёмкость:

Скорость вещества вступившего в реакцию: