- •§ 16. Елементи теорії функцій комплексної змінної
- •16.1 Функції комплексної змінної.
- •16.1.1. Основні поняття
- •16.1.2 Границя і неперервність функції комплексної змінної
- •16.1.3. Основні елементарні функції комплексної змінної
- •16.1.3.1. Показникова функція
- •16.1.3.2. Логарифмічна функція
- •16.1.3.5. Тригонометричні функції
- •16.1.3.6. Гіперболічні функції
- •16.1.3.7. Обернені тригонометричні і гіперболічні функції
- •16.1.4. Диференціювання функції комплекснї змінної. Умови Ейлера-Даламбера.
- •16.1.5. Аналітична функція. Диференціал
- •16.1.6. Геометричний зміст модуля і аргумента похідної. Поняття про конформне відображення
- •Приклади конформних відображень, що здійснюються деякими елементарними функціями див. Додаток 1.
- •16.2. Інтегрування функції комплексної змінної
- •16.2.1 Означення, властивості і правила обчислення інтеграла
- •16.2.2. Теорема Коші. Первісна , невизначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •16.2.3. Інтеграл Коші. Інтегральна формула Коші
- •16.3. Ряди в комплексній площині
- •16.3.1. Числові ряди
- •16.3.2. Степеневі ряди
- •Ряд Тейлора
- •Нулі аналітичної функції
- •Ряд Лорана
- •Ряд Лорана для функції
- •○ Скористаємося відомим розкладом
- •16.3.6. Класифікація особливих точок. Зв'язок між нулем і полюсом функції
- •Усувні особливі точки
- •Істотно особлива точка
- •16.4. Лишок функції
- •16.4.1. Поняття лишка і основна теорема про лишки
- •16.4.2. Обчислення лишків. Застосування лишків в обчисленні інтегралів
16.3.6. Класифікація особливих точок. Зв'язок між нулем і полюсом функції
Як уже знаємо, особливою точкою функції f(z) називається точка, у якій функція не є аналітичною.
Особлива точка z=z0 функції f(z) називається ізольованою, якщо в деякому її околі функція f(z) не має інших особливих точок.
Якщо z0 — ізольована особлива точка функції f(z), то існує таке число R>0, що в кільці функція f(z) буде аналітичною а, отже, розкладається в ряд Лорана (3.11):
При цьому можливі випадки:
-
Ряд Лорана не містить головної частини, тобто в ряді немає членів з від’ємними показниками. У цьому випадку точка z0 називається усувною особливою точкою функції f(z).
-
Розклад Лорана містить у своїй головній частині скінчену кількість членів, тобто в ряді скінчена кількість членів з від’ємними показниками. У цьому випадку точка z0 називається полюсом функції f(z).
-
Розклад Лорана містить у своїй головній частині нескінченну кількість членів, тобто в ряді нескінченно багато членів з від’ємними показниками. У цьому випадку точка z0 називається істотно особливою точкою функції f(z).
Розглянемо особливості поведінки аналітичної функції f(z) в околі особливої точки кожного типу.
Усувні особливі точки
Якщо z0 — усувна особлива точка, то в околі точки z0 розклад (3.11) має вигляд . Цей розклад справедливий у всіх точках круга , крім точки z = z0. Якщо покласти f(z0)=c0 , де (тобто визначити функцію f(z) у точці z0), то функція f(z) стане аналітичною у всіх точках круга (включаючи його центр z = z0); особливість точки z0 усувається, точка z0 стає правильною точкою функції f(z)).
З рівності слідує, що в досить малому околі усувної особливої точки функція f(z) є обмежена.
Справедливе і обернене твердження: ізольована особлива точка z=z0 є усувною, якщо існує скінчена границя .
Полюси
Якщо z0 — полюс, то в околі точки z0 розклад (3.11) має вигляд де В цьому випадку полюс z0 називається полюсом m-го порядку функції f(z); якщо m=1, то полюс z0 називається простим.
Запишемо останню рівність у вигляді
або
(3.16)
де g(z) — аналітична функція, причому Звідси випливає, що f(z) при zz0, тобто в досить малому околі полюса функція f(z) нескінченно велика.
Справедливе і обернене твердження: ізольована особлива точка z=z0 є полюсом, якщо .
З рівності (3.16) маємо . Звідси отримуємо зручний спосіб обчислення порядку полюса z0: якщо
(3.17)
то точка z0 є полюс m-го порядку.
Існує зв'язок між нулем і полюсом функції.
Теорема 3.5. Якщо точка z0 — нуль m-го порядку функції f(z), то z0 є полюсом m-го порядку функції ; якщо точка z0 — полюс m-го порядку функції f(z), то z0 є нулем m-го порядку функції .
□
Доведемо першу частину теореми. Нехай z=z0 є нуль m-го порядку для функції f(z). Тоді має рівність , де аналітична в точці z0 , причому . Тоді і . Це означає (див. (3.17)), що для функції точка z=z0 є полюсом m-го порядку. Друга частина теореми (оберненої) доводиться аналогічно. ■