- •§ 16. Елементи теорії функцій комплексної змінної
- •16.1 Функції комплексної змінної.
- •16.1.1. Основні поняття
- •16.1.2 Границя і неперервність функції комплексної змінної
- •16.1.3. Основні елементарні функції комплексної змінної
- •16.1.3.1. Показникова функція
- •16.1.3.2. Логарифмічна функція
- •16.1.3.5. Тригонометричні функції
- •16.1.3.6. Гіперболічні функції
- •16.1.3.7. Обернені тригонометричні і гіперболічні функції
- •16.1.4. Диференціювання функції комплекснї змінної. Умови Ейлера-Даламбера.
- •16.1.5. Аналітична функція. Диференціал
- •16.1.6. Геометричний зміст модуля і аргумента похідної. Поняття про конформне відображення
- •Приклади конформних відображень, що здійснюються деякими елементарними функціями див. Додаток 1.
- •16.2. Інтегрування функції комплексної змінної
- •16.2.1 Означення, властивості і правила обчислення інтеграла
- •16.2.2. Теорема Коші. Первісна , невизначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •16.2.3. Інтеграл Коші. Інтегральна формула Коші
- •16.3. Ряди в комплексній площині
- •16.3.1. Числові ряди
- •16.3.2. Степеневі ряди
- •Ряд Тейлора
- •Нулі аналітичної функції
- •Ряд Лорана
- •Ряд Лорана для функції
- •○ Скористаємося відомим розкладом
- •16.3.6. Класифікація особливих точок. Зв'язок між нулем і полюсом функції
- •Усувні особливі точки
- •Істотно особлива точка
- •16.4. Лишок функції
- •16.4.1. Поняття лишка і основна теорема про лишки
- •16.4.2. Обчислення лишків. Застосування лишків в обчисленні інтегралів
16.1.3.5. Тригонометричні функції
Тригонометричні функції комплексного аргументу визначаються рівностями
, , , .
При дійсних ці означення приводять до тригонометричних функцій дійсної змінної. Так, при ( )
.
Тригонометричні функції комплексної змінної зберігають багато властивостей тригонометричних функцій дійснї змінної. Зокрема,
,
,
,
,
,
,
,
при ( ),
,
,
,
і т.д. Доведемо, наприклад, першу властивість:
.
Відзначимо, що тригонометричні функції та у комплексній площині необмежені: , . Так, наприклад, , .
16.1.3.6. Гіперболічні функції
Ці функції визначаються рівностями
, , , .
Легко замітити зв'язок між гіперболічними і тригонометричними функціями. Замінюючи в зазначених функціях на , одержимо:
, чи ,
(а також , ).
Користуючись цими рівностями, можна одержати ряд формул, що пов'язують гіперболічні функції. Так, замінюючи у формулі тригонометричні функції гіперболічними, одержимо
,
або . Тому що тут - будь-яке комплексне число, то можна замінити на ; одержимо
формулу .
Наведемо ще ряд формул:
, ,
, ,
, ,
і т.д.
З означення гіперболічних функцій випливає, что функції і періодичні з періодом ; функції і мають період .
16.1.3.7. Обернені тригонометричні і гіперболічні функції
Число називається арксинусом числа , якщо , і позначається
Використовуючи означення синуса, маємо , або . Звідси , тобто (перед коренем можна не писати знак , тому що має два значення). Тоді , або . Таким чином,
.
Функція багатозначна (нескінченнозначна). Аналогічно визначаються інші обернені тригонометричні функції. Можна показати, що
,
,
.
Функції, обернені гіперболічним, позначаються відповідно (ареасинус), (ареакосинус), (ареатангенс), (ареакотангенс).
Обернені гіперболічні функції подаються так:
, ,
, .
Усі ці функції нескінченнозначні.
16.1.4. Диференціювання функції комплекснї змінної. Умови Ейлера-Даламбера.
Нехай однозначна функція w=f(z) визначена в деякому околі точки z, включаючи і саму точку. Тоді границя
, (1.4)
якщо віна існує, називається похідною функції f(z) у точці z, а функція f(z) називається дифференційовною у точці z.
Підкреслимо, що в рівності (1.4) будь-яким чином прямує до нуля, тобто точка може наближатися до точки z по кожному з нескінченної множини напрямків (див. рис. 2) (в аналогічній ситуації для функції однієї дійсної змінної точка наближається до точки x лише по двох напрямках: ліворуч і праворуч).
Рис. 2
З дифференційовності функції f(z) в деякій точці z випливає її неперервність у цій точці (відношення при може прямувати до скінченної границі f(z) лише за умови, що і ). Обернене твердження не має місця.
При яких умовах функція w=f(z) , буде диференційовна в заданій точці?
Теорема 1.1. Якщо функція w=u(x;y)+iv(x;y) визначена в деякому околі точки z=x+iy, причому в цій точці дійсні функції u(x;y) і v(x;y) дифференційовні, то для дифференційовности функції w=f(z) у точці z необхідно і достатньо, щоб у цій точці виконувалися рівності
, (1.5)
Рівності (1.5) називаються умовами Ейлера-Даламбера (або умовами Коші-Рімана).
□ Необхідність
Нехай функція f(z) диференційовна в точці z, тоді границя (1.4) існує і не залежить від шляху, по якому . Можна вважати, що точка наближається до точки z по прямій, паралельній дійсній осі (осі Ox), тобто (рис. 3).
Рис. 3 Тоді
.
Якщо ж точка наближається до точки z по прямій, паралельній уявній осі (осі Oy), то В цьому випадку
.
Порівнявши знайдені границі, одержимо .
Звідси випливає: .
Достатність
Нехай тепер умови (1.5) виконуються. Доведемо, что функція f(z) диференційовна.
Так як функції u(x;y) і v(x;y) диференційовні в точці z=x+iy, то їхні повні прирости можна подати у вигляді
, , де і – нескінченно малі більш високого порядку, ніж . Тоді
Заміняючи в чисельнику правої частини на , на , відповідно до умов (1.5), одержуємо:
, де ,
тобто
,
а – нескінченно мала вищого порядку відносно . Звідси випливає, щоіснує. При цьому . ■
З урахуванням умов Ейлера-Даламбера (1.5) похідну диференційовної функції f(z) можна знаходити за формулами
,
, . (1.6)
Правила диференціювання функцій дійсної змінної справедливі і для функцій комплексної змінної, диференційованих в точці z. Це означає, що якщо і диференційовні в деякій точці z комплексної площини, то справедливі такі твердження:
1.
2.
3.
4. Якщо диференційована в точці z, а f(w) диференційована в точці , то .
5. Якщо в деякій точці z функція f(z) диференційовна й існує функція , диференційовна в точці w=f(z), причому , то , де - функція, обернена функції f(z).
Наведемо без доведення теорему про диференційовність основних елементарних функцій комплекснї змінної: функції , z, z, z, z, диференційовні в будь-якій точці комплексної площини; функції w=tg z і w=th z також диференційовні в будь-якій точці площини, крім точок і відповідно; для функцій w=Ln z, w= в околі кожної точки можна виділити однозначну вітку, яка є диференційовною в точці z функцією.