- •§ 16. Елементи теорії функцій комплексної змінної
- •16.1 Функції комплексної змінної.
- •16.1.1. Основні поняття
- •16.1.2 Границя і неперервність функції комплексної змінної
- •16.1.3. Основні елементарні функції комплексної змінної
- •16.1.3.1. Показникова функція
- •16.1.3.2. Логарифмічна функція
- •16.1.3.5. Тригонометричні функції
- •16.1.3.6. Гіперболічні функції
- •16.1.3.7. Обернені тригонометричні і гіперболічні функції
- •16.1.4. Диференціювання функції комплекснї змінної. Умови Ейлера-Даламбера.
- •16.1.5. Аналітична функція. Диференціал
- •16.1.6. Геометричний зміст модуля і аргумента похідної. Поняття про конформне відображення
- •Приклади конформних відображень, що здійснюються деякими елементарними функціями див. Додаток 1.
- •16.2. Інтегрування функції комплексної змінної
- •16.2.1 Означення, властивості і правила обчислення інтеграла
- •16.2.2. Теорема Коші. Первісна , невизначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •16.2.3. Інтеграл Коші. Інтегральна формула Коші
- •16.3. Ряди в комплексній площині
- •16.3.1. Числові ряди
- •16.3.2. Степеневі ряди
- •Ряд Тейлора
- •Нулі аналітичної функції
- •Ряд Лорана
- •Ряд Лорана для функції
- •○ Скористаємося відомим розкладом
- •16.3.6. Класифікація особливих точок. Зв'язок між нулем і полюсом функції
- •Усувні особливі точки
- •Істотно особлива точка
- •16.4. Лишок функції
- •16.4.1. Поняття лишка і основна теорема про лишки
- •16.4.2. Обчислення лишків. Застосування лишків в обчисленні інтегралів
-
Ряд Тейлора
Теорема 3.3. Всяка аналітична в крузі функція може бути єдиним чином розкладена в цьому крузі в степеневий ряд
(3.7)
коефіцієнти якого визначаються формулами
(3.8)
де - довільне коло з центром у точці , що лежить усередині круга.
Степеневий ряд (3.7) називається рядом Тейлора для функції в розглянутому крузі.
Візьмемо довільну точку усередині даного круга і проведемо коло з центром у точці і радіусом так, щоб точка знаходилася усередині круга (див. рис. 14).
Оскільки функція аналітична в крузі і на його межі , то її значення в точці можна знайти за формулою Коші (2.9): , де - точка на колі . Маємо:
Рис. 14
.Так як , то , отже, вираз можна розглядати як суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії з першим членом і знаменником . Таким чином,
Помножимо обидві частини цієї рівності на величину і проінтегруєм її почленно по контуру . Отримаємо:
,
тобто , або , де .
Таким чином, ми одержали розклад функції в степеневий ряд (3.7), коефіцієнти якого визначаються за формулами (3.8).
Доведемо єдиність цього розкладу.
Припустимо, що функція в крузі подана іншим степеневим рядом
Послідовно диференціюючи почленно цей ряд нескінченне число раз, будемо мати:
,
,
,
,
,
Поклавши в цих рівностях, а також у початковому ряді , отримаємо: , , , …, , … Порівнюючи знайдені коефіцієнти ряду з коефіцієнтами ряду (3.7), встановлюємо, що , а це означає, що зазначені ряди збігаються.
Функція розкладається в степеневий ряд єдиним чином.
Наведемо розклад деяких елементарних функцій в ряд Тейлора (Маклорена):
,
,
,
,
Перші три розклади справедливі у всіх точках комплексної площини, останні два – у крузі .
Замінивши на в розкладі функції , отримаємо:
,
тобто формулу Ейлера: .
-
Нулі аналітичної функції
Як показано вище, усяка функція , аналітична в околі точки , розкладається в цьому околі в степеневий ряд (3.7); коефіцієнти якого визначаються за формулами (3.8).
Точка називається нулем функції , якщо . У цьому випадку розклад функції в околі точки в степеневий ряд не містить нульового члена, тому що . Якби не тільки , але і , а , то розклад функції в околі точки має вигляд
, (3.9)
а точка називається нулем кратності (або нулем -го порядку). Якщо , то називається простим нулем.
З формул (3.8) для коефіцієнтів ряду Тейлора випливає, що якщо є нулем кратності функції , то , але . У цьому випадку функцію можна подати у вигляді , де
(3.10)
Для функції точка вже не є нулем, тому що .
Справедливо і обернене твердження: якщо функція має вигляд (3.10), де – натуральне число, а аналітична в точці , причому , то точка є нуль кратності функції .