- •§ 16. Елементи теорії функцій комплексної змінної
- •16.1 Функції комплексної змінної.
- •16.1.1. Основні поняття
- •16.1.2 Границя і неперервність функції комплексної змінної
- •16.1.3. Основні елементарні функції комплексної змінної
- •16.1.3.1. Показникова функція
- •16.1.3.2. Логарифмічна функція
- •16.1.3.5. Тригонометричні функції
- •16.1.3.6. Гіперболічні функції
- •16.1.3.7. Обернені тригонометричні і гіперболічні функції
- •16.1.4. Диференціювання функції комплекснї змінної. Умови Ейлера-Даламбера.
- •16.1.5. Аналітична функція. Диференціал
- •16.1.6. Геометричний зміст модуля і аргумента похідної. Поняття про конформне відображення
- •Приклади конформних відображень, що здійснюються деякими елементарними функціями див. Додаток 1.
- •16.2. Інтегрування функції комплексної змінної
- •16.2.1 Означення, властивості і правила обчислення інтеграла
- •16.2.2. Теорема Коші. Первісна , невизначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •16.2.3. Інтеграл Коші. Інтегральна формула Коші
- •16.3. Ряди в комплексній площині
- •16.3.1. Числові ряди
- •16.3.2. Степеневі ряди
- •Ряд Тейлора
- •Нулі аналітичної функції
- •Ряд Лорана
- •Ряд Лорана для функції
- •○ Скористаємося відомим розкладом
- •16.3.6. Класифікація особливих точок. Зв'язок між нулем і полюсом функції
- •Усувні особливі точки
- •Істотно особлива точка
- •16.4. Лишок функції
- •16.4.1. Поняття лишка і основна теорема про лишки
- •16.4.2. Обчислення лишків. Застосування лишків в обчисленні інтегралів
16.1.5. Аналітична функція. Диференціал
Фундаментальним поняттям у теорії функцій комплексної змінної є поняття аналітичної функції.
Однозначна функція f(z) називається аналітичною (голоморфною) у точці z, якщо вона диференційовна (виконані умови Ейлера-Даламбера) у деякому околі цієї точки. Функція f(z) називається аналітичною в області D, якщо вона диференційовна в кожній точці .
Як видно з цього означення, умова аналитичності в точці не збігається з умовою диференційовності функції в цій же точці (перша умова більш сильніша).
Точки площини z, у яких однозначна функція f(z) аналітична, називаються правильними точками f(z). Точки, у яких функція f(z) не є аналітичною, називаються особливими точками цієї функції.
Нехай функція w=f(z) аналітична в точці z. Тоді . Звідси випливає, що , де при , а приріст функції можна записати так: . Якщо , то перший доданок являється при нескінченно малою того ж порядку, що і ; другий доданок є нескінченно мала вищого порядку, ніж . Отже, перший доданок складає головну частину приросту функції w=f(z).
Диференціалом dw аналітичної функції w=f(z) у точці z називається головна частина її приросту, тобто , або , тобто похідна функції дорівнює відношенню диференціала функції до диференціала незалежної змінної.
Зауваження. Якщо функція аналітична в деякій області D, то функції u(x;y) і v(x;y) задовольняють диференціальному рівнянню Лапласа ().
Дійсно, диференціюючи першу з рівностей Ейлера-Даламбера по y, а другупо x, отримаємо:
, ,
звідси .
Функції u(x;y) і v(x;y) називаються гармонічними функціями.
Приклад 3. Перевірити, чи є функція аналітичною. Знайти її похідну.
○ Знаходимо дійсну і уявну частини функції:
.
Таким чином, , . Перевіряємо умови Ейлера-Даламбера (1.5):
, ;
, .
Умови (1.5) виконуються у всіх точках комплексної площини z. Функція диференційовна, отже, аналітична у всіх точках цієї площини. Її похідну знайдемо за однією з формул (1.6), наприклад за першію:
,
тобто .
Замітимо, що похідну функції можна знайти, скориставшись означенням похідної (1.4):
. ●
Приклад 4. Знайти аналітичну функцію w=u+iv за її заданою дійсною частиною .
○ Відзначимо, що функція u є гармонічною функцією ( , , отже, ).
Для визначення уявної частини v скористаємося умовами Ейлера-Даламбера (1.5). Оскільки , то, згідно першій умові, . Звідси, інтегруючи по y, знаходимо:
.
Для визначення функції скористаємося другою умовою Ейлера-Даламбера. Оскільки
,
,
то . Звідси і , де C = const. Тому . Знаходимо функцію w=u+iv:
●
16.1.6. Геометричний зміст модуля і аргумента похідної. Поняття про конформне відображення
Нехай функція w=f(z) аналітична в точці і . З'ясуємо геометричний зміст аргумента і модуля похідної.
Функція w=f(z) відображає точку площини z у точку площини w.
Нехай довільна точка з околу точки переміщується до точки по деякії неперервній кривій l. Тоді в площині w відповідна точка буде переміщуватися до точки по деякій кривій L, що є образом кривої l у площині w (рис. 4).
Рис. 4
За означенням похідної . Звідси випливає, що . Величина являє собою відстань між точками і , а - відстань між точками і . Отже, є границя відношения нескінченно малої відстані між точками і до нескінченно малої відстані між точками і . Ця границя не залежить (f(z) аналітична в точці ) від вибору кривої l, що проходить через точку . Отже, границя в точці постійна, тобто однакова у всіх напрямках.
Звідси випливає геометричний зміст модуля похідної: величина визначає коефіцієнт розтягання (подібності) у точці при відображенні w=f(z). Величину називають коефіцієнтом розтягу, якщо , чи коефіцієнтом стиску, якщо .
Приклад 5. Знайти коефіцієнт розтягу (стиску) для функції в точці .
○ Функція аналітична в точці , при цьому . Отже, . Коефіцієнт розтягу для функції в точці дорівнює 5 (площина розтягується).
Для аргументу похідної в точці маємо:
,
де й а1 і а2 – кути, що утворюють дотичні до кривих l і L відповідно в точках z0 і w0 з додатніми напрямками дійсних осей на площинах z і w (див. рис. 4).
Звідси . Це означає, що - це кут, на який потрібно повернути дотичну до кривой l у точці z0 для того, щоб одержати напрямок дотичної до кривой L у точці w0. Іншими словами, - це кут між відображеним і початковим напрямками дотичних до кривих l і L у точках z0 і w0 відповідно. У цьому полягає геометричний зміст аргументу похідної . ●
В наслідок аналітичності функції f(z) у точці z0 (ми припустили, що) кут той самий для всіх кривих, що проходять через точку z0. Для іншої пари кривих l1 і L1 у тих же точках z0 і w0 будемо мати . Таким чином, , тобто якщо криві l і l1 утворюють у точці z0 на площині z кут , то такий же кут будуть утворювати в точці w0 криві L і L1, що є образами кривих l і l1 на площині w (див. рис. 5).
Ця властивість відображення w=f(z) називається властивістю збереження (консерватизму) кутів в точці z0.
Відображення w=f(z), що зберігає кути та коефіцієнт деформації у точці z0, називається конформним (тобто відображенням, що зберігає форму).
Рис. 5
Якщо при цьому зберігається і напрямок відліку кутів, то таке відображення називається конформним відображенням 1-го роду; якщо напрямок відліку кутів змінюється на протилежний – конформним відображенням 2-го роду.
Таким чином, якщо функція f(z) є аналітичною в деякій точці z0 комплексної площини z і в цій точці її похідна відмінна від нуля, то відображення w=f(z) конформне в цій точці.
Відображення w=f(z) називається конформним в області D, якщо воно конформне в кожній точці цієї області.
Справедливе наступне твердження: якщо функція w=f(z) аналітична в області D, причому у всіх точках області , то відображення конформне в D; якщо відображення w=f(z) конформне в області D, то функція w=f(z) аналітична в D і в усіх точках цієї області .
Приклад 6. З'ясувати геометричну картину відображення, здійснюваного функцією w=2z.
○ Відображення w=2z конформне в усіх точках площини z, тому що .
Коефіцієнт розтягування в будь-якій точці площини z дорівнює 2. Оскільки , то напрямок при відображенні не міняється. Таким чином, відображення є перетворення гомотетії з центром у нульовій точці (w=0 при z=0) і коефіцієнтом гомотетії, що дорівнює 2. ●