- •Предисловие
- •1.1 Введение в mathcad. Что такое mathcad?
- •1.3 Начало работы в среде mathcad
- •1.6 Панели инструментов mathcad
- •1.7 Режим справки
- •1.4 Простейшие вычисления и операции в mathcad
- •Задачи математического анализа
- •Используемые инструменты mathcad
- •Определение функций и построение графиков
- •3.2 Сходимость числовых последовательностей
- •3.3 Предел функции Предел функции в точке.
3.2 Сходимость числовых последовательностей
Если изобразить элементы последовательности an на плоскости точками с координатами (n, an), то неравенства а — ε < an < а + ε означают, что все точки (n, an) с номерами n > N расположены между прямыми a —ε и а + ε, параллельные оси абсцисс.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, в котором исследована сходящаяся последовательность и построен график, иллюстрирующий процесс сходимости.
Зададим последовательность и вычислим символьно её предел.
Последовательность СХОДИТСЯ, предел последовательности равен 1.
Найдём n = N(ε), для которого справедливо равенство
Вычислим значения N N(0.1) = 7.273
Неравенство
справедливо:
Для N > 7 при ε = 10ˉ¹
Последовательность {αn}, предел которой равен нулю называется бесконечно малой.
КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК РАЗРЫВА.
ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ НА ГРАНИЦАХ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Непрерывность и разрывы функции. Классификация разрывов
Рассмотрим функцию f(x) определенную на некотором промежутке (а, b) С R.
Функция f(x) непрерывна в точке X0 €(а, b), если предел функции в точке X0 равен значению функции в этой точке: lim f(x) = f(x,о).
Х-+Х0
Функция, непрерывная в каждой точке промежутка (а, Ь), называется непрерывной на промежутке. Если функция f(x) определена на промежутке (a, b), b > а, то при исследовании поведения функции в окрестности точки а имеет смысл говорить о пределе функции f(x) в точке а справа, а при исследовании в окрестности точки b — о пределе функции f(x) в точке b слева*. Число А называется пределом справа функции f(x) при х, стремящемся к а, если для любого положительного числа £, как бы мало оно ни было, существует такое положительное число 6, что для всех х, удовлетворяющих неравенству а < х < а + д, справедливо неравенство | . В таких случаях говорят "предел справа функции f(x) в точке а" и обозначают lim f(x) = А.
х-т+0
Пределы слева и справа называют односторонними пределами в точке.
Аналогично, говорят "предел слева функции f(x) в точке b" и обозначают если для любого положительного числа е, как бы мало оно ни было, существует такое положительное число b, что для всех х, удовлетворяющих неравенству b — 8 < х < b, справедливо неравенство .
Для существования предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы существовали и совпадали односторонние пределы функции в этой точке.
По той же схеме вводится понятие непрерывности слева и непрерывности справа. Функция, определенная на отрезке [а, b], b > а, непрерывна справа в точке а, если lim f(x) = f(a), и непрерывна
слева в точке 6, если lim f(x) = f(b). Для того чтобы функция была х—y→0
непрерывна в точке Xо, необходимо и достаточно, чтобы односторонние пределы функции в точке совпадали со значением функции в этой точке:
Если хотя бы одно из равенств нарушается, говорят о разрыве в точке xq.
Если и односторонние пределы конечны,
то разрыв в точке X0 называется устранимым.
, Аφ В, и оба односторонних предела конечны, то
говорят о скачке функции в точке. Устранимый разрыв и скачок называются разрывами первого рода.
Если один из односторонних пределов бесконечен или не существует, то разрыв называется разрывом второго рода.
Так же, как для предела и непрерывности, говорят о разрыве слева и разрыве справа.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий аналитическое и графическое исследование разрывов функции.
½
V(x) – 2
ЗАДАНИЕ 3.4
Найдите точки разрыва заданных функций и определите их тип.
Порядок выполнения задания:
-
Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов символьных вычислений по горизонтали.
-
Определите выражение для функции.
-
Вычислите предел функции в точке разрыва.
-
Вычислите односторонние пределы функции в точке разрыва.
-
Постройте график функции в окрестности точки разрыва.
-
Сформулируйте вывод.
-
Выполните вычисления пп. 2-6 для всех функций из задания.
Пример
выполнения заданияВариант
исследования разрывов функций
(R) = 2l/x приведен выше. Все три функции имеют разрыв в точке х = 0. Функция имеет в нуле устранимый разрыв. Положив /(0) = 0, получим непрерывную функцию. Функция имеет в нуле скачок. Функция v(x) - 2
имеет в нуле разрыв второго рода, поскольку бесконечен предел в нуле справа.
Непрерывные функции. Свойства непрерывных функций
Для функции, непрерывной на отрезке [а, b], справедливы следующие утверждения.
-
Функция, непрерывная на отрезке [а, b], достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений*, т.е. на отрезке [a, b] существуют точки хт, хм такие, что
x€ [a,b]
m < f(x) <M, х€ [a, b].
-
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на концах значения разных знаков, то на интервале (a, b) существует точка с, в которой функция обращается в нуль, т.е. если f(a)f(b) < 0, то существует такая точка с G (а, b), что f(с) = 0.