1. Поняття математичної статистики

Мат. Статистика – це наука, яка вивчає методи збору, класифікації та обробки даних спостереження (статистичних даних) з метою отримання на їх основі обгрунтованих висновків.

Мат. Статистика базується на поняттях та методах теорії ймовірностей, причому в деякому розумінні мат. Статистика розв’язує задачі обернені задачам теорії ймовірностей, тобто мат. Статистика виявляє структуру статистичних моделей за результатами проведених спостережень.

2. Основні задачі мат. Статистики

А) Розробка методів збору і групування статистичних даних, отриманих в результаті спостережень або ж опрацювання статистичних звітів чи даних у результаті спеціально поставлених експериментів.

Б) Розробка методів аналізу статистичних даних залежно від мети досліджень:

— оцінка невідомої ймовірності випадкової події на основі спостережень; оцінка невідомої функції розподілу випадкової величини за даними, які отримані в результаті спостережень; оцінка параметрів розподілу, вид якого відомий; оцінка залежності в.в. від однієї або декількох вип. величин.

• точність точкового оцінювання, тобто це задача оцінювання близькості між точковою оцінкою параметра та істинним значенням параметра.

• перевірка статистичних гіпотез про вид невідомого розподілу або величину параметрів розподілу вид якого невідомий.

3. Поняття генеральної сукупності

Генеральна сукупність – це сукупність всіх значень деякої ознаки досліджуваних об’єктів.

4. Що таке вибірка?

Вибірковою сукупністю або вибіркою називається сукупність випадково відібраних об’єктів з генеральної сукупності.

5. Об’єм сукупності

Об’єм сукупності – це число об’єктів цієї сукупності

6. Основні способи відбору

1. Відбір, що не потребує розподілу генеральної сукупності на частини

   1. Простий випадковий відбір без повернення

   2. Простий випадковий повторний відбір

2. Відбір, в якому генеральна сукупність розбивається на частини

   1. Типовий відбір

   2. Механічний відбір

   3. Серійний відбір

Простий відбір – це при якому об’єкти вибираються по одному із всієї генеральної сукупності.

Типовий відбір – відбір, при якому об’єкти вибираються з кожної типової частини.

Механічний відбір – це при якому всю генеральну сукупність ділять на декілька груп і з кожної групи вибирають по одному об’єкту.

Серійний відбір – це при якому об’єкти вибираються не по одному, а серіями.

7. Статистичний розподіл вибірки

Статистичний розподіл вибірки – це перелік варіант та відповідних їм частот або відносних частот. У випадку, коли обсяг дискретного рядку достатньо великий, то його можна перетворити на інтервальний, тобто статистичний розподіл можна задавати у вигляді послідовності інтервалів та відповідних їм частот (за частоту приймають в даному випадку суму частот елементів вибірки, які попали в даний інтервал).

8. Визначення частоти

Число, яке показує скільки разів зустрічалась варіанта х_і називається частотою і позначається n_i.

9. Визначення відносної частоти

Відносна частота показує долю конкретної варіанти у вибірці.

10. Визначення накопичувальної частоти

Накопичувальна частота – це сумарна частота варіант, які розміщені у варіаційному ряді нижче відповідної варіанти (якщо ряд дискретний) або верхнього кінця проміжку (якщо ряд інтервальний).

11. Варіаційний ряд, елемент вибірки

Впорядкована за зростанням послідовність називається варіаційним рядом. Елемент називається і-м членом варіаційного ряду або і-ю варіантою або і-ю впорядкованою статистикою.

12. Полігони частот та відносних частот

Полігон частот – ламана лінія, яка відображає залежність між варіантою та частотою і утворюється шляхом з’єднання прямим лініями точок (), де - відповідно варіанта і її частота.

Полігон відносних частот – ламана лінія, яка відображає залежність між варіантою і відносною частотою і утворюється шляхом з’єднання прямими лініями точок , де - відповідно варіанта і її відносна частота.

13. Гістограми частот і відносних частот

Гістограма частот – це функція, яка має сходинковий характер та складається з прямокутників основами яких є інтервали довжиною h, а висоти дорівнюють відношенню .

Гістограма відносних частот – це функція, яка має сходинковий характер і складається з прямокутників, основами яких є інтервали довжиною h, а висоти дорівнюють відношенню .

14. Основні типи параметрів, що піддаються оцінці

Математичне сподівання, дисперсія, функція розподілу, функція щільності

15. Вибіркові характеристики вибірки, коли дані не повторюються

Вибірковий момент r-го порядку

Вибіркове середнє

Вибіркова дисперсія

16. Вибіркові характеристики вибірки, коли дані повторюються

Вибірковий момент r-го порядку

Вибіркове середнє

Вибіркова дисперсія

17. Означення емпіричної функції розподілу

Нехай нам відомо статистичний розподіл в.в. . Позначимо випадкову величину, яка дорівнює кількості елементів вибірки, які менші за х і покладемо , де дане відношення визначає відносну частоту події, де

Отже, емпіричною функцією розподілу (функцією розподілу вибірки) в.в. називається функція , що визначає відносну частоту події, де .

18. Основні властивості емпіричної функції розподілу

    1. 

    2. - неспадна сходинкова функція

    3. , де - найменша варіанта

    4. , де - найбільша варіанта

19. Як визначається функція розподілу, якщо всі компоненти вибірки різні?

20. Як визначається емпірична функція розподілу, якщо всі компоненти вибірки повторюються?

21.Як визначається мода у випадку, коли дані вибірки повторюються?

У випадку коли дані вибірки повторюються мода визначається наступним чином:

Складаємо варіаційний ряд і визначаємо варіанту яка найчастіше повторюється.

22. Як визначається медіана у випадку, коли дані вибірки повторюються?

Складаємо варіаційний ряд і шукаємо варіанту яка ділить цей ряд пополам. Якщо кількість варіант не парна, то медіаною є елемент (n=2k)

Якщо кількість варіант є парною,то медіаною є