- •Поняття математичної статистики
- •Основні задачі мат. Статистики
- •Статистичний розподіл вибірки
- •23. Як визначаються мода та медіана у випадку, коли дані вибірки згруповані по інтервалах?
- •25. Точкова оцінка.
- •26. Основні властивості оцінок.
- •28. Конзистентність (слушність) оцінки.
- •29. Ефективність оцінки.
- •31.Чи є оцінка для дисперсії незміщеною, консистентною та ефективною?
- •32.Теорема про незміщеність емпіричних початкових моментів.(Доведення)
- •41. Метод максимальної правдоподібності побудови точкових оцінок.
- •75. Етапи перевірки статистичних гіпотез:
- •76. Визначення області прийняття гіпотези та критичну область для гіпотези при альтернативі
- •77. Визначення області прийняття гіпотези та критичну область для гіпотези при альтернативі .
- •78. Визначення області прийняття гіпотези та критичну область для гіпотези (при альтернативі
- •103. Побудова довірчого інтервалу для
- •104. Вибіркова коваріація
- •105. Вибірковий коефіцієнт кореляції, властивості
23. Як визначаються мода та медіана у випадку, коли дані вибірки згруповані по інтервалах?
- початок медіального інтервалу, тобто це початок такого інтервалу,в якому міститься серединний елемент.
h-довжина медіального інтервалу
n-об’єм вибірки
- накопичена проміжку, що передує медіані
- частота медіанного інтервалу
- початок модального інтервалу, тобто такого якому відповідає перша з нагромаджених частот,що перевищує половину всіх спостережень.
- довжина інтервалу
- частота модального інтервалу.
- частота домодального інтервалу
- частота післямодального інтервалу
24. Статистична оцінка.
Статистична оцінка невідомого параметра теоретичного розподілу називається функція від випадкової величини , які отримуються в результаті n спостережень.
Статистичні оцінки поділяться на:
-
Точкові
-
Інтервальні
25. Точкова оцінка.
Точковою оцінкою називають таку статистичну оцінку,яка визначається одним числом результати n випробувань випадкової величини .
26. Основні властивості оцінок.
1.Незміщеність
2. Конзистентність (слушність)
3. Ефективність
27. Незміщеність оцінки.
Означає що математичне сподівання оцінки співпадає з самою оцінкою.
або .
Наочно незміщеність оцінки параметра можна трактувати наступним чином: при багаторазовому використанні оцінки як значення , середнє значення
28. Конзистентність (слушність) оцінки.
Часто можна розгляядати не одну оцінку , що побудувона за вибіркою , а послідовність оцінок , які побудовані також за вибіркою. В цій ситуації природньо говорити про асимптотичну поведінку послідовності оцінок.
Конзистендність( слушність)- це збіжність оцінки до оцінюваного параметру за ймовірністю при збільшені об’єму вибірки.
Послідовність оцінок називається сильноконзистендною, якщо вона збігається до оцінюваного параметра з ймовірністю «1», при збільшенні об’єму вибірки.
29. Ефективність оцінки.
Ефективність-це властивість незіщеної оцінки мати найменшу дисперсію.
Послідовність оцінок будемо називати асимптотично незміщеною параметра , якщо
або
30. Чи є оцінка для математичного сподівання незміщеною, консистентною та ефективною?
31.Чи є оцінка для дисперсії незміщеною, консистентною та ефективною?
Відповідь для двох:
1.будемо розглядати математичне сподівання.
Математичне сподівання будемо оцінювати як середнє арифметичне в результаті випробувань:
В якості оцінки для дисперсії виберемо:
Перевіримо чи є дані оцінки ефективними!
-однаково розподілені, так само як .
Нехай .
Чи є незміщенна оцінка матиматичного сподівання, яке визначається як вибіркове середнє:
Доведемо, що в нас є незміщенна оцінка дисперсії
Математичне сподівання не дорівнює оцінці.
Дана оцінка дисперсії є зміщеною оцінкою істинною, при великих об’ємах, розходження не суттєве.
Для отримання незміщеної оцінки дисперсії, нам потрібно нашу емпіричну дисперсію домножити на
Зазначимо, згідно закону великих чисел при збільшенні n величина збігається за ймовірністю до математичного сподівання.
Щоб довести конзистентність оцінки дисперсії треба виразити дисперсію через 2-ий початковий момент.
Другий член збігається за ймовірністю до теоретичного математичного сподівання .
Якщо математичне сподівання невідомі, то оцінка є незміщеною оцінкою дисперсії.