- •Поняття математичної статистики
- •Основні задачі мат. Статистики
- •Статистичний розподіл вибірки
- •23. Як визначаються мода та медіана у випадку, коли дані вибірки згруповані по інтервалах?
- •25. Точкова оцінка.
- •26. Основні властивості оцінок.
- •28. Конзистентність (слушність) оцінки.
- •29. Ефективність оцінки.
- •31.Чи є оцінка для дисперсії незміщеною, консистентною та ефективною?
- •32.Теорема про незміщеність емпіричних початкових моментів.(Доведення)
- •41. Метод максимальної правдоподібності побудови точкових оцінок.
- •75. Етапи перевірки статистичних гіпотез:
- •76. Визначення області прийняття гіпотези та критичну область для гіпотези при альтернативі
- •77. Визначення області прийняття гіпотези та критичну область для гіпотези при альтернативі .
- •78. Визначення області прийняття гіпотези та критичну область для гіпотези (при альтернативі
- •103. Побудова довірчого інтервалу для
- •104. Вибіркова коваріація
- •105. Вибірковий коефіцієнт кореляції, властивості
32.Теорема про незміщеність емпіричних початкових моментів.(Доведення)
Емпіричні початкові моменти є незміщеною оцінкою відповідних елементів генеральної сукупності, при умові якщо вони існують.
Для емпіричного початкового моменту n-ого порядку ми маємо:
Нехай в нас є - незміщена оцінка параметра , тоді необхідно і достатньо, що умовою збіжності оцінки є збіжність дисперсії оцінки до 0.
Доведення аналогічне доведенню нерівності Чебишева.
-
немає
34.Означення кількості інформації за Фішером.
Функцію називають кількістю інформації за Фішером.
- щільність
35.Лема про рівність . (Доведення загальний випадок)
Якщо майже для всіх існують похідні , які є мажорвні інтегрованим функціям і виконується умова , то для всіх
, а
Доведення
Використовуючи властивості функції щільності зазначимо:
Візьмемо похідну і маємо:
Введемо наступні позначення:
Маємо:
Візьмемо другу похідну по :
Звідси ми отримуємо
Теорему доведено.
36.Теорема про нерівність Крамера-Рао (загальний випадок). Доведення.
Нехай задовольняються умови леми про рівність і - незміщена оцінка параметра , така що функція , мажоровна інтегрованою функцією , , тоді виконується нерівність:
, де величина - кількість інформації за Фішером.
Причому рівність досягається тоді і тільки тоді,коли можна подати у вигляді .
37.Наслідок теореми (про нерівність Крамера-Рао) про ефективність оцінки.
Якщо для оцінки виконується нерівність Крамера-Рао, зокрема перетворення на рівність, то оцінка є ефективною.
38.Лема про рівність (для дискретного розподілу). Доведення.
Якщо майже для всіх можливих значень вибірки існують похідні ,.
, , ,, то для всіх :
,і , де
Доведення аналогічне до леми в питанні 35.
39.Теорема про нерівність Крамера-Рао (дискретний розподіл). Доведення.
Нехай задовольняються умови леми про рівність (для дискретного розподілу) і - незміщена оцінка параметра така що функція для всіх можливих значень вибірки і ряд збігається абсолютно і рівномірно .
Тоді виконується нерівність , причому рівність справджується тоді і тільки тоді, коли можна подати у вигляді
Доведення аналогічне як у питанні 36.
40.Метод моментів побудови точкових оцінок.
Нехай в нас є вибірка , , де розподіл залежить від параметру який в свою чергу є вектором S . Нам потрібно оцінити невідомі параметри .
Першим загальним методом побудови оцінок невідомих параметрів за вибіркою є метод моментів, що запропонований Пірсоном.
Взагалі можна показати, що початковий та центральний емпіричні моменти є конценстендними оцінками відповідно початкового і центрального моментів першого порядку. Згідно з методом моментів певну кількість вибіркових моментів прирівнюють до відповідних моментів ,розподілу .
Ці вибіркові моменти обчислюються при значеннях параметрів , що дорівнюють відповідно .
Перший вибірковий момент:
Розглянемо кількість початкових моментів, що дорівнює кількості невідомих параметрів, які потрібно оцінити, обертають таку саму кількість рівнянь для визначення невідомих параметрів.