2 Математическая модель тактики коммерческой фирмы в условиях монопольной конкуренции

Пусть коммерческая фирма является монополистом, т.е. она единственная торгует на рынке некоторым товаром. Необходимо вырабатывать такую тактику торговли, при которой будет получен максимальный доход П(х), зависящий от объема продаж х, цены товара р(х), издержек от реализации этого товара Z(x).

Пусть р(х) - зависимость цены товара от объема продаж х, тогда общая выручка составит

.

Доход от продажи товара в объеме х представляет разницу между общей выручкой W(х) и издержками Z(x), т.е. . Т.о., доход зависит от цены товара и объема х его продаж.

Необходимо выяснить, какова должна быть тактика коммерческой фирмы в отношении цены р(х) и объема продаж х, чтобы получить максимальную выручку W(х), а значит и максимальную прибыль П(х).

Предельной вырцчкой при заданном объеме продаж х называется относительный показатель прироста выручки W(х) при увеличении объем продаж на величину , т.е. величина

.

Предельными издержками называют относительный показатель прироста затрат Z(х) по реализации товара при увеличении объема продаж с х до х+ при

.

Если Z(x) = const, т.е. издержки по реализации товара зафиксированы на одном уровне, не зависящем от объема продаж, то предельные издержки равны нулю при любом объеме продаж х.

Задача 1 Исследуем на максимум функцию выручки W(x). При объеме продаж выручка . Если же объем продаж возрастает то выручка W(х) может: 1) неограниченно возрастать , 2) асимтиотически стремиться к некоторому пределу , 3) сначала увеличивается до некоторого значения W(a), а затем снижаться, т.е. функция W(х) имеет локальный максимум в точке х = а и существует оптимальный объем продаж , обеспечивающий максимальное значение выручки maxW(x).

W(x) W(а) а х

В первом и втором случаях не существует.

Пусть W(х) имеет _. Найдем . Функция W(х) достигает своего наибольшего значения в т. экстремума, который возможен в точках, удовлетворяющих условию , тогда

, ,

, ,

, ,

или .

Пусть - решение полученного уравнения. В этой точке возможен экстремум функции W(x), который подтвердится при выполнении условия . Тогда .

Задача 2 Исследуем на максимум функцию дохода П(х). Пусть при .

Деятельность коммерческой фирмы приносит доход П(х) > 0, если W(х) > Z(x), убыточна, если W(х) < Z(x).

Согласно второму достаточному условию существования локального экстримума, функция П(х) имеет локальный максимум при , если выполняются условия и . Для отыскания необходимо решить систему или

Т.о. для достижения максимального дохода следует установить такую цену р(х) и объем продаж х, чтобы предельные издержки были равны предельной выручке . При этом скорость роста предельной выручки должна быть меньше скорости роста предельных издержек .

За.мечание Величины , обеспечивающие максимум функции выручки W(х) не будут совпадать с величинами , обеспечивающими максимум функции дохода П(х).