- •§1 Применение функций в экономике
- •§2 Классификация тенденций экономических процессов
- •§3 Понятие о составных моделях экономических процессов
- •1 Постановка экономической задачи. Математические модели спроса и издержек
- •2 Математическая модель тактики коммерческой фирмы в условиях монопольной конкуренции
- •3 Математическая модель тактики коммерческой фирмы в условиях совершенной конкуренции
- •4 Анализ тактики коммерческой фирмы
- •Экономический смысл производной. Понятие теории предельного анализа. Эластичность функции
- •§ 3 Эластичность функции
- •§ 4 Примеры использования эластичности функции в экономике
- •Элементы теории предельной полезности
- •§ 1 Маржинальный подход к изучению экономических явлений. Полезность блага
- •§ 2 Понятие о совокупной и предельной полезности блага. Закон убывающей предельной полезности
- •§ 3 Математическое описание закона убывающей предельной полезности
- •§ 4 Математические модели закона убывающей предельной полезности
- •§ 5 Взаимосвязь между предельной полезностью и рыночной ценой товара
- •§ 6 Теорема о совокупной полезности запаса благ. «Дополнительная выгода потребителя»
- •§ 7 Критерий максимизации совокупной полезности потребляемых благ при заданных бюджетных ограничениях
- •§ 8 Решение типовых задач теории предельной полезности
§ 3 Эластичность функции
При описании динамики экономических явлений мы сравнивали изменения результата у(х) с величиной приложенных усилий х, т.е. изучали отношение - среднюю эффективность усилий; и переходя к пределу при х0 этого отношения, получали предельную эффективность на уровне усилий х.
В некоторых экономических задачах необходимо проводить аналогичные сравнения не для абсолютных приращений х и у, а для относительных приращений и (безразмерных величин).
Эластичностью Ex(y) функции у называется предел отношения относительного приращения функции у к относительному приращению переменной х при х0, , .
Эластичность функции показывает, на сколько процентов изменится функция у = f(х) при изменении независимой переменной х на 1%.
Геометрический смысл эластичности функции По определению эластичности имеем , где - тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции у=f(х) в точке М(х;у).
Если f(x) – возрастает на промежутке Х, то из АВМ имеем: у = АВ, тогда , Т.о., эластичность функции f(х) в точке М равна отношению ОА к |
у=f(х)
у М(х;у)
у В А 0 х |
Если f(x) убывает на промежутке Х, то из АВМ имеем АМ=у=АВ=-, |
у=f(х) С
у М(х;у) у А 0 х В |
ВА - проекции касательной в точке М на ось ОХ. Если абсцисса точки B>0, то АВ<АО и >1, если абсцисса точки B<0, то АВ>АО и <1. |
Eсли СМ>МВ, то>1; если СМ<МВ, то <1. Замечание для убывающей функции )<0. |
Если >1, то тенденцию, описывающую функцией у читают эластичной, <1 – неэластичной.
Свойства эластичности функции (ЭФ)
10. ЭФ – безразмерная величина, не зависящая от единиц измерения х и у.
20. ЭФ – зависит от величины аргумента х, т.е. является функцией переменной х.
30. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций ,
40. Эластичности взаимно-обратных функций взаимно-обратны
50. ЭФ равна произведению независимой переменной х на темп роста функции , т.е. .
§ 4 Примеры использования эластичности функции в экономике
Исследуем наиболее часто рассматриваемые в экономике зависимости на характер их эластичности.
Основополагающими факторами, влияющими на коммерческую деятельность в условиях рыночной экономике, являются спрос D (demand) и предложение S (supply) товара на рынке. Их соотношение определяет состояние рынка: рыночное равновесие, если D = S; дефицит, если D > S; - перепроизводство, если D < S.
Рассмотрим влияние на спрос D и предложение S различных факторов: цены p (price) товара и дохода J (income).
Наименование функции |
Обозначение функции |
Эластичность функции |
1. функция спроса относительно цены и наоборот |
D = D(р) (Р = Р(D)) |
|
2. функция продолжения относительно цены |
S = S(p) |
|
3. функция спроса относительно дохода |
D = D(J) |
Модель 1. Функция спроса относительно цены и её эластичность. Закон понижающегося спроса гласит: потребитель склонен покупать, больше товара по низким ценам и меньше – по высоким.
Линейная модель спроса |
Экспоненциальная модель |
Гиперболическая модель |
(b0>0, к>0)
D b0
b0/k p |
(а >0, b >0)
a
p |
( >0)
|
В рассмотренных моделях функция спроса D(р) - убывающая, это указывает на отрицательную эластичность.
Эластичность спроса относительно цены показывает, на сколько процентов изменится спрос D на данный товар, если цена товара возрастает на 1%.
Построим соответствующие графики функции переменной цены р.
b0/к
|
|
|
Зная функцию спроса D(р), можно найти выручку от продаж W(p)= р D(р) и предельную выручку от продаж
.
Учитывая что для рассмотренных моделей Ер(D)<0, имеем: .
Т.о, если абсолютная величина эластичности >1, то предельная выручка <0, т.е. рост цены на товар приедет к снижению выручки от его продаж. Снижение цены увеличит выручку. Спрос в этом случае является эластичным. Если <1, то >0, т.е. снижение цены ведет к снижению выручки от продажи товара, а рост цены – к увеличению выручки. Такой спрос называют неэластичным.
Для эластичного спроса изменение цены и предельного дохода происходят в противоположных направлениях, для неэластичного спроса – в одном направлении.
Экономические примеры:
1. Ситуация эластичного спроса возникает на конкурентном рынке (цена диктуется условием рыночного равновесия). Фирмы снижают цены на продукцию, чтобы увеличить объем продаж и повысить суммарную выручку от продаж.
2. В условиях чистой конкуренции большая часть сельскохозяйственной продукции неэластична. Очень высокий урожай приводит к снижению цены, а значит и выручки от его продажи (для фермеров не всегда выгоден высокий урожай).
С увеличением цены продукции эластичного спроса суммарный доход от её реализации увеличивается, а для товаров неэластичного спроса – падает.
Модель 2. Функция предложения относительно цены и её эластичность.
Предложением (поставкой) S называют количество товара, предлагаемого на продажу в единицу времени.
Рассмотрим S = S(p) - зависимость предложения S от цены товара р.
Если функция спроса D(р) описывает реакцию покупателей, то функция предложения S(p) описывает реакцию производителей (поставщиков) на изменение текущей цены товара р.
Как правило, рост цен р стимулирует предложение, т.е. функция S(p) является возрастающей. Однако в отдельных случаях предложение может возрастать с падением цен - S(p) будет убывающей функцией (производители вынуждены удерживать уровень дохода, за счет увеличения поставок).
Эластичность предложения S относительно цены р: показывает, на сколько процентов изменится предложение, если цена товара вырастает на 1%.
Модель 3. Функция спроса относительно дохода и её эластичность.
При постоянных прочих факторах спрос D зависит от дохода J: D = D(J).
Эластичность спроса D относительно дохода J: , показывает, на сколько процентов изменится спрос на данный товар, если доход потребителей возрастает на 1%.
Все товары (услуги) условно можно разбить на две категории:
- товары высшей категории, потребление которых увеличивается с ростом доходов, тогда D(J) – возрастающая функция и >0. К таким товарам относятся: мясо, фрукты, дорогие напитки, предметы роскоши, автомобили;
- товары низшей категории, потребление которых снижается с ростом доходов, тогда D(J) – убывающая функция и <0. К таким товарам относятся: картофель, хлеб, мука, дешевые напитки, дешевая одежда.
Из приведенных рассуждений следует, что использование коэффициентов эластичности имеет большое практическое значение при анализе экономических явлений, т.к. позволяет более тщательно изучить характер экономической тенденции и на этой основе приять обоснованное, более эффективное управленческое решение.