2 “Начала “Евклида

К концу III в. до н.э. греки имели большой запас геометрических фактов и обладали методами их доказательств. В это время возникла задача собрать этот геометрический материал и расположить его в логическом порядке. Такую задачу пытались решить многие греческие авторы (Гиппократ, Федий и др.), но их сочинения не дошли до нашего времени и были забыты после появления «Начал» Евклида.

1. Евклид, один из крупнейших геометров древности, воспитанник школы Платона, жил в период приблизительно от 330 до 275 г. до н.э. в Египте, в Александрии. Подробные достоверные биографические сведения о Евклиде до нас не дошли. Известно, что расцвет его деятельности приходится на первые годы III в. до н.э. Составленные им «Начала» дают систематическое изложение начал геометрии, выполненное с таким большим мастерством, что многие века преподавание геометрии велось по этому сочинению.

«Начала» Евклида состоят из 13 книг (т.е. глав). Первые 6 книг содержат изложения планиметрии; в книгах I, III,и IV даны известные нам из курса средней школы свойства треугольников, теория параллельных прямых, теорема Пифагора, свойства окружностей и вписанных и описанных многоугольников. В книге II даны в геометрической форме алгебраические тождества. В книге V изложена теория по Евдоксу, а в книге VI - теория подобия фигур. Книги VII, VIII и IX посвящены арифметике в геометрическом изложении. В книге X дана теория несоизмеримых величин. Книги XI – XIII посвящены основаниям стереометрии, причем вся XIII книга посвящена учению а правильных многогранниках.

Многое из того, что было известно по геометрии во времена Евклида (например, теория конических сечений, кривые высших порядков), не изложена в «Началах».

Каждая книга начинается с определения всех тех понятий, которые в ней встречаются. Так, в начале книги I даны 23 определения. Приведем первые из них.

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия есть длина без ширины.

3. Границы линии суть точки.

4. Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.

5. Поверхность ест то, что имеет только длину и ширину.

6. Границы поверхности суть линии.

7. Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым, на ней лежащим.

Затем Евклид приводит предложения, принимаемые без доказательства, которые он разделяет на постулаты и аксиомы.

Постулаты.

1. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую.

2. И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.

3. И чтобы от любого центра можно провести окружность.

4. И чтобы все прямые углы были равны.

5. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Аксиомы.

1. Равные порознь третьему равны между собой.

2. И если к равным прибавим равные, то получим равные.

3. И если от равных отнимем равные, то получим равные.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. И совмещающиеся равны.

В чем заключается различие между постулатами и аксиомами, остается неясным; на этот счет существует много разных мнений, ни одно из них не может быть признано окончательно.

Только Евклид излагает теоремы геометрии, располагая их в такой последовательности, чтобы каждую теорему можно было бы доказать, используя только предыдущие предложения, постулаты и аксиомы.