2 Критика системы Евклида.

1. «Начала» Евклида сыграли огромную роль в истории математики и всей человеческой культуры. «Начала» переведены на все основные языки мира, после 1482 г. они выдержали около 500 изданий. На русском языке имеется несколько переводов «Начал» Евклида, последний из них выполнен профессором Мордухай-Болтовским. «Начала» оказали исключительно большое влияние на дальнейшее развитие математики и на ее преподавание. Интересно отметить, что до начала XIX столетия (а в Англии до ее середины) все учились математике по «Началам» Евклида.

2. Евклид первым поставил задачу обоснования геометрии, то есть перечисление определений и аксиом, на основе которых можно развивать геометрию строго логическим путем. В этом исключительная заслуга Евклида перед наукой. Логическое построение геометрии было проведено Евклидом для его времени чрезвычайно точно. В дальнейшем, на протяжении многих веков, строгость евклидовых доказательств признавалась образцом для подражания.

Однако если рассматривать изложение «Начал» с точки зрения современной математики, то надо признать его несовершенным. Прежде всего отметим, что основы, на которых строится все здание геометрии, не вполне удовлетворительны. Многие из определений неясны (например, определение прямой), в ряде случаев определения включают такие понятия, которые сами должны быть определены, например «длина», «ширина», «граница» и т.д. Не случайно, что ни одно из определений 1-7, приведенных выше, не используется в доказательстве теорем и все они без всякого ущерба могут быть опущены.

Что же касается постулатов и аксиом, то содержащиеся в них рассуждения существенны и составляют основу при доказательстве геометрических предложений. Однако легко заметить, что список аксиом и постулатов является недостаточным, чтобы на его основе можно было построить геометрию строго логическим путем. Приведем несколько примеров.

А) В геометрии мы часто пользуемся такими понятиями, которые выражаются следующими словами: «тоска лежит между двумя другими ее точками», «две точки лежат по одну (по разные) стороны от прямой», «точка лежит внутри треугольника» и т.д. Постулаты Евклида не дают возможности обосновать эти понятия (на это обратил внимание Гаусс), поэтому при доказательстве той или иной теоремы, когда мы пользуемся этими понятиями, мы вынуждены ссылаться на наглядные изображения, опираясь на чертеж.

Б) По смыслу аксиомы VII равенство фигур у Евклида определяется с помощью движения. Между тем понятие движения не определено и свойства движения в аксиомах не перечислены. Правда, если учесть аксиому VII, по постулат IV можно понимать так: любые два прямых угла могут быть совмещены, то есть существует движение, которое переводит один из этих углов в другой. Но этого еще не достаточно для обоснования учения о движениях.

В) Если одна из окружностей проходит через внутреннюю и внешнюю точки относительно другой окружности, по Евклид молча предполагает, что эти окружности пересекаются. Точно также предполагается, что прямая, проходящая через внутреннюю точку окружности, пересекает эту окружность. Несмотря на наглядную очевидность этих фактов, они должны быть доказаны (на это впервые обратил внимание Лейбниц). Но постулаты и аксиомы Евклида не дают возможности обосновать эти доказательства.

Таким образом, «Начала» Евклида не содержат безупречно логического обоснования геометрии.

Некоторые недостатки «Начал» Евклида были замечены учеными древности. Так, Архимед добавил аксиому (которую мы называем аксиомой Архимеда), играющую существенную роль в теории измерения длин, площадей и объемов. И после Архимеда делались попытки уточнить основные положения геометрии, однако на протяжении многих веков никто не добавил чего-либо существенно нового по сравнению с тем, что было сделано Евклидом. Интересно отметить, что очень немногие ставили перед собой задачу пополнения списка евклидовых постулатов. Основная задача, по мнению ученых, заключалась в том, чтобы свести систему постулатов и аксиом Евклида к минимуму. Было замечено, например, что IV постулат является лишним, так как равенство прямых углов может быть доказано так же строго, как и многие другие теоремы.

В этой связи особое место занимают исследования, связанные с пятым постулатом Евклида. На нем основана теория параллельных прямых и все связанные с ней разделы геометрии – подобие фигур, теоремы о сумме углов треугольника и выпуклых многоугольников, тригонометрия, теория площадей и объемов и т.д.

Отметим, что из всех постулатов и аксиом Евклида V постулат резко выделяется своей сложностью. В книге I «Начал» первые 28 предложений доказываются без ссылок на пятый постулат; видимо, Евклид пытался доказать как можно больше утверждений без ссылок на этот постулат. Указанные обстоятельства породили в течении более 2000 лет, прошедших после Евклида, многочисленные попытки доказать этот постулат на основе остальных постулатов и аксиом Евклида (Прокл – V в.н.э.; Омар Хайан – 1048-1123г.; Валлис – XVII в.; Саккери и Ламберт – XVIII в.; Лежандр – 1752-1833гг.). Обычно автор того или иного доказательства незаметно для себя опирался на некоторое допущение, которое не содержится в остальных аксиомах и постулатах и не вытекает из них. Мы не будем рассматривать эти ошибочные доказательства. Отметим лишь, что многочисленные доказательства V постулата, несмотря на их несостоятельность, привели к положительным результатам, некоторые из которых мы рассмотрим в следующем параграфе.