- •Понятие функции одного переменного. Виды и способа задания функции
- •2. Предел функции и его свойства
- •3. Односторонние пределы. Существование предела в точке
- •4. Теоремы о пределах функций
- •5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •6. Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций
- •7. Первый и второй замечательные пределы
- •8. Непрерывные и разрывные функции. Классификация точек разрыва. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •9. Понятие производной . Геометрический и физический смысл.
- •10. Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое и достаточное условие
- •11.Теоремы о производных
- •12. Производная сложной функции.
- •13. Производная обратной функции
- •22. Монотонные функции. Теоремы о функциях непрерывных на отрезках
- •23. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия существования
- •24. Точки перегиба
- •25. Асимптоты
- •26.Алгоритм исследования графиков функций
- •27. Функция двух переменных. Виды и способы задания функции двух переменных
- •28. Предел функции двух переменных в точке
- •30. Непрерывность функции двух переменных в точке
- •31. Частные производные первого порядка
- •32. Дифференцируемость функции двух переменных в точке
- •34. Производная неявной функции
- •35. Производная по направлению
- •37. Частные производные высших порядков
- •39. Признак полного дифференциала
- •40. Экстремумы функций двух переменных.
- •41.Необходимое условие существования экстремума
- •42. Достаточное условие существования экстремума.
- •43. Условный экстремум
- •44. Метод наименьших квадратов.
- •45. Первообразная
12. Производная сложной функции.
Если y=f(u), где u=(x), т.е. если y зависит от x через посредство промежуточного аргумента u, то y называется сложной функцией от x.
Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной.
dy/dx=dy/du*du/dx, или y’=f’(u)*u’(x).
13. Производная обратной функции
Пусть фун-ия дифференцируема и строго монотонна на (a;b). Пусть также в точке производная . Тогда в точке определена дифференцируемая фун-ия, котор. называют обратной к , а её производная вычисляется по формуле
14 . Таблица производных
Производной функции y=f(x) в точке x0 (обозначается y'(x0) или f’(x0)) называется предел отношения приращения функции в этой точке ∆y=f(x0+∆x)-f(x0) к приращению аргумента ∆x при ∆x0, если этот предел существует:
15. Производные высших порядков Производной порядка высшего порядка функции y=f(x) называется производная от ее производной, т.е.
Производные второго, третьего и более высоких порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной фун-ии.
16.теорема Ферма
Если функция y=f(x) определена и дифференцируема на интервале (a,b) и достигает в точке x0∈(a,b) своего наибольшего или наименьшего значения, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f’(x0)=0.
17.Теорема Ролля
Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема ∀x ∈(a,b) и f(a)=f(b), тогда существует точка x=c ∈(a,b), в которой f'(c)=0.
18. Теорема Лагранжа
Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема ∀x ∈(a,b), тогда существует точка x=c∈(a,b), такая, что выполняется условие f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).
19. теорема Коши
Пусть функции y=f(x) и y=g(x) непрерывны, определены на отрезке [a,b] и дифференцируемы ∀x ∈(a,b). Пусть также g'(x)≠0, тогда существует точка x=c∈(a,b), такая, что для нее выполняется условие f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f’(c)/g’(c).
20. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей:
-
Если limxx0f(x)=limxx0φ(x)=0, то limxx0f(x)/φ(x)=(0/0)=limxx0f’(x)/φ’(x) при условии, что предел в правой части выражения существует; аналогично, если limxx0f'(x)=limxx0φ’(x)=0, то limxx0f’(x)/φ’(x)=(0/0)=limxx0f’’(x)/φ’’(x) при условии, что предел в правой части существует и т.д.
-
Если limxx0f(x)=limxx0φ(x)=∞, то limxx0f(x)/φ(x)=(∞/∞)=limxx0f’(x)/φ’(x) при условии, что предел в правой части выражения существует; аналогично, если limxx0f(x)=limxx0φ(x)=∞, то limxx0f(x)/φ(x)=(∞/∞)=limxx0f’(x)/φ’(x) при условии, что предел в правой части существует, и т.д.
21. Формула тейлора,
где - остаточный член формулы Тейлора:
22. Монотонные функции. Теоремы о функциях непрерывных на отрезках
Фун-ия назыв. возрастающ. (убывающ.) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение фун-ии. Фун-ии возрастающ. и убывающ. назыв. монотонными фун-ям.
Теоремы
Пусть f(x) непрерывна и дифф на [a;b] . для того чтобы на [a;b] функция была возрастающей или убыв достаточно чтобы f’(x)>0(<0)