Решение. В основном уравнении молекулярно- кинетической теории –

.

Произведение nm выражает массу молекул, содержащихся в единице объема вещества, и следовательно, равно плотности ρ газа. Таким образом,

Па.

Пример 5. 6,5 г водорода, температура которого 27⁰ С, расширяется вдвое при постоянном давлении за счет притока тепла извне. Найти: а) изменение внутренней энергии; б) количество теплоты, сообщенной газу; в) работу расширения. (М_в=210^-3 кг/моль).

Решение. Вычислим значения молярных теплоемкостей водорода, учитывая, что молекулы водорода – двухатомные, а число I степеней свободы равно пяти:

=20,8·10³ Дж/мольК;

C_р =C_v + R=20,8·10³ + 8,31·10³ =29,1·10³ Дж/мольК.

Используя условие задачи и уравнение для изобарического процесса

,

найдем температуру газа после расширения:

Т₂ = =2Т₁ = 600 К.

Вычислим изменение внутренней энергии и количество тепла:

=20,3·10³ Дж;

=28,4·10³ Дж.

На основании первого начала термодинамики найдем работу расширения газа:

А=Q–∆U=28,4·10³–20,3·10³ Дж=8,1·10³ Дж.

Пример 6. Воздух, занимавший объем V₁=10 л при давлении Р₁=100 кПа, был адиабатически сжат до объема V₂ =1 л. Под каким давлением Р₂ находится воздух после сжатия?

Решение. Поскольку совершается адиабатический процесс, для решения используем уравнение адиабаты в виде

.

Отсюда следует, что

_.

Показатель Пуассона –

,

где i=5, так как считаем воздух состоящим в основном из двухатомных молекул. Подставив в формулу для P₂ численные значения величин, получим:

P₂ = =10⁵ ·10^1,4 =10^6,4 Па.

В итоге логарифмирования имеем gР₂ = 6,4. На основании этого Р₂=2,51·10⁶ Па.

Пример 7. Тепловая машина работает по обратному циклу Карно. Температура теплоотдатчика Т₁=500 К. Определить термический кпд цикла и температуру Т₂ теплоприемника тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу А=350Дж.

Решение. Термический кпд тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от теплоотдатчика, превращается в механическую работу:

,

где А – работа, совершаемая рабочим телом; Q₁ – теплота, полученная от теплоотдатчика.

По формуле

η=,

зная η цикла, можно определить температуру охладителя Т₂ :

.

Произведем вычисления:

, .

Пример 8. Один моль газа совершает цикл, состоящий из 2-х изохор и 2-х изобар (см. рисунок). Температуры, соответствующие состояниям 1 и 3, –Т₁ и Т_3.

Определить работу, совершенную газом за цикл, если известно, что точки 2 и 4 лежат на одной изотерме.

Р

Р₂ 2 р₂, V₂, T₂ 3 р₃, V₃, T₃

Р₁ 1 р₁, V₁, T₁ 4 р₄, V₄, T₄

V₁ V₂ V

Решение. Состояние 1 характеризуется параметрами p₁,V₁,T₁, состояние 2– параметрами p₂,V₂ ,T₂ , состояние 3 – соответственно p₃,V₃,T_3, состояние 4 – p₄,V₄,T₄ (T₄ = T₂; V₁=V₂; V₃=V₄).

Из рисунка видно, что

А = (Р₂ – Р₁) (V₃ –V₁), (1)

так как работа за цикл численно равна площади прямоугольника 1-2-3-4.

Поскольку T_{4 =} T₂, то

Р₂ V₁ = Р₁ V₃. (2)

Из уравнения Менделеева-Клапейрона для 1 моля газа :

Р₁ V₁ = RT₁

Р₂ V₃ = RT_3.

Откуда

= _.

Как следует из уравнения (2),

.

Тогда . Подставив найденные выражения в формулу (1), выполним преобразования:

.

2.3. Задания

Вариант 1

1. Подсчитать число молекул, содержащихся в углекислом газе массой 100 г. Найти массу молекулы и концентрацию молекул при нормальных условиях. Плотность газа при нормальных условиях равна 1,94 кг/м³ .

2. Какое давление на стенки сосуда оказывает кислород, если скорость его молекул равна 400 м/с, а в 1 см³ – 2,7·10¹⁹ молекул?

3. Плотность газа в баллоне газонаполненной электрической лампы равна 0,9 кг/м³. При горении лампы давление в ней возросло с 80 кПа до 110 кПа. Насколько увеличилась при этом среднеквадратичная скорость молекул газа?

4. До какой температуры при постоянном давлении 10⁵ Па надо нагреть кислород, чтобы его плотность стала равна плотности водорода при том же давлении и температуре 200 К?

5. Для нагревания газа массой 1 кг на 1К при постоянном давлении требуется 912 Дж теплоты, а при постоянном объеме – 649 Дж теплоты. Какой это газ?

6. Определить, во сколько раз среднеквадратичная скорость пылинки массой 1,75·10^-12 кг, взвешенной в воздухе, меньше среднеквадратичной скорости движения молекул воздуха.

7. Найти формулу некоторого соединения углерода с водородом, если известно, что это вещество массой 0,66 г в газообразном состоянии при температуре 27⁰С в объеме 1 дм³ создает давление 10⁵ Па.

8. В сосуде при давлении 10⁵ Па и температуре 27⁰ С находится смесь азота, кислорода и гелия, массы которых равны. Найти плотность смеси газов.

9. В вертикальном цилиндре под тяжелым поршнем находится кислород массой 2 кг. Для повышения температуры кислорода на 5 К ему было сообщено 9160 Дж теплоты. Найти удельную теплоемкость кислорода с_р, работу, совершаемую им при расширении и увеличении его внутренней энергии. Молярная масса кислорода 0,032 кг/моль.

10. Одноатомный идеальный газ находятся в баллоне объемом 10 л при давлении 10⁵ Па. Какова внутренняя энергия газа?

11. В закрытом сосуде находится 3 моля гелия при температуре 27⁰ С. На сколько процентов увеличится давление в сосуде, если газу сообщить 3 кДж теплоты?