- •Механика и молекулярная физика Контрольные задания для студентов всех специальностей
- •Введение
- •1. Физические основы механики
- •1.1. Основные формулы и законы Кинематика
- •Динамика материальной точки и тела, движущегося поступательно
- •1.1.3. Механика твёрдого тела
- •1.1.4. Механические колебания
- •1.2. Примеры решения задач
- •Согласно теореме косинусов, получим:
- •1.3. Задания Вариант 1
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •2. Молекулярная физика и термодинамика
- •2.1. Основные формулы и законы Молекулярная физика
- •Физические основы термодинамики
- •2.2. Примеры решения задач
- •Решение. Из уравнения Менделеева – Клапейрона
- •Решение. Воздух, являясь смесью идеальных газов, тоже представляет собой идеальный газ, и к нему можно применить уравние Менделеева–Клапейрона:
- •Решение. В основном уравнении молекулярно- кинетической теории –
- •Решение. Вычислим значения молярных теплоемкостей водорода, учитывая, что молекулы водорода – двухатомные, а число I степеней свободы равно пяти:
- •Используя условие задачи и уравнение для изобарического процесса
- •Решение. Поскольку совершается адиабатический процесс, для решения используем уравнение адиабаты в виде
- •Решение. Термический кпд тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от теплоотдатчика, превращается в механическую работу:
- •По формуле
- •Из рисунка видно, что
- •2.3. Задания
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 10
- •3. Некоторые внесистемные величины:
- •4. Основные физические постоянные:
- •7. Молярные массы (м 10-3 кг/моль) газов:
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Механика и молекулярная физика Контрольные задания для студентов всех специальностей
1.1.4. Механические колебания
Уравнение гармонических колебаний –
,
где x – смещение колеблющейся точки от положения равновесия; A, ω, φ – соответственно амплитуда, круговая (циклическая) частота, начальная фаза колебаний; t – время; – фаза колебаний в момент t.
Круговая частота колебаний –
, или ,
где и T – частота и период колебаний.
Скорость точки, совершающей гармонические колебания, –
.
Ускорение при гармоническом колебании –
.
Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух, происходящих вдоль одной прямой, колебаний с одинаковыми частотами, определяется по формуле
,
где и – амплитуды составляющих колебаний; и – их начальные фазы.
Начальная фаза φ результирующего колебания может быть найдена из формулы
.
Частота биений колебаний, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих вдоль одной прямой с различными, но близкими по значению частотами и , –
.
Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами и и начальными фазами и , –
,
т.е. точка движется по эллипсу.
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки :
, или ,
где m – масса точки; k – коэффициент квазиупругой силы .
Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания, –
.
Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник), –
,
где m – масса тела; k – жёсткость пружины.
Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой тела).
Период колебаний математического маятника
,
где – длина маятника; g – ускорение свободного падения.
Период колебаний физического маятника –
,
где – приведённая длина физического маятника; J – момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний; a – расстояние от центра масс маятника до оси колебаний.
Эти формулы являются точными для случая бесконечно малых амплитуд. При конечных значениях они дают лишь приближенные результаты. При амплитудах не более ~ 30 погрешность в значении периода не превышает 1%.
Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити, –
,
где J – момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k – жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний :
, или ,
где r – коэффициент сопротивления; δ – коэффициент затухания, ;
- собственная круговая частота колебаний, .
Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний –
,
где А(t) – амплитуда затухающих колебаний в момент времени t; - круговая частота затухающих колебаний в момент t.
Круговая частота затухающих колебаний –
Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени –
,
где - амплитуда колебаний в момент t=0.
Логарифмический декремент затуханий :
,
где A(t) и A(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, отстоящих по времени друг от друга на период.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний :
, или ,
где – внешняя периодическая сила, действующая на колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания; – её амплитудное значение, .
Амплитуда вынужденных колебаний :
.
Резонансная частота и резонансная амплитуда :
и .