15. Колебания. Фигуры Лиссажу.

Фигу́ры Лиссажу́ — замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Вид фигур зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний. В простейшем случае равенства обоих периодов фигуры представляют собой эллипсы, которые при разности фаз 0 или π вырождаются в отрезки прямых, а при разности фаз и равенстве амплитуд превращаются в окружность. Если периоды обоих колебаний неточно совпадают, то разность фаз всё время меняется, вследствие чего эллипс всё время деформируется. При существенно различных периодах фигуры Лиссажу не наблюдаются. Однако, если периоды относятся как целые числа, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в то же положение — получаются фигуры Лиссажу более сложной формы. Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и расположены по обе стороны от них на расстояниях, равных амплитудам колебаний.

Колебательным движением (колебаниями) называется процесс, при котором система многократно отклоняясь от состояния равновесия возвращается к нему.

гармонические колебания, которые описываются тригонометрическими функциями синуса или косинуса, например,

где А₀ – амплитуда, т.е. максимальное значение обобщенной координаты x при колебаниях системы (рис. 15.25); – круговая частота свободных колебаний; – фаза колебаний; – начальная фаза колебаний, т.е. фаза в момент времени t = 0.

Промежуток времени за который совершается полный цикл колебаний, носит название периода собственных или вынужденных колебаний. Величина обратная Т, называется частотой колебаний:,

и представляет собой число колебаний в течение одной секунды. В технике в большинстве случаев используется понятие круговой частоты , представляющей собой число колебаний за секунд.

Период колебаний и круговая частота свободных колебаний связаны зависимостью (15.5)

Круговая частота связана с сосредоточенной массой m и жесткостью с системы зависимостью

16. Колебания систем с распределенными параметрами. Уравнения колебаний балки с шарнирно закрепленными концами.

Системы с распределенными параметрами (распределённые системы), системы, состоящие из элементов, непрерывно распределённых в конечных областях пространствава, так что происходящие в них движения передаются от одного элемента к другому и не могут быть идеализированы как движения объектов (масс, полей и т. п.) с фиксированной внутр. структурой. Все реальные системы можно рассматривать как С. с р. п.— плотностью, упругостью и др., которые от точки к точке меняются непрерывно. С. с р. п. обладают бесконечно большим числом степеней свободы, вследствие чего им свойственно бесконечно большое число нормальных колебаний. Процессы в С. с р. п. описываются обычно ур-ниями с частными производными (волновое уравнение, ур-ние диффузии и др.) или интегральными ур-ниями.

Поперечные колебания балки. Каждый элемент балки будем предполагать обладающим и массой и упругими свойствами. Для определения деформаций, возникающих в балке при колебаниях, необходимо знать перемещения всех точек системы. Поэтому балка является системой с бесконечным числом степеней свободы. Колебания таких систем описываются дифференциальными уравнениями в частных производных.

Представлены первые три формы собственных колебаний. Легко заметить, что обращается в нуль в промежутке при в одной точке, при в двух точках и т. д. Эти точки носят название узлов.