13. Основная идея метода конечных элементов.

Основная идея МКЭ основывается на замене некоторой непрерывной величины в пределах рассматриваемой области дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определённых на конечном числе подобластей, называемых конечными элементами (КЭ). Неизвестная искомая величина в пределах каждого КЭ аппроксимируется, как правило, полиномиальной функцией заданного вида с учётом требования непрерывности на границах смежных КЭ. Таким образом, непрерывная в пределах исследуемой области неизвестная величина (например, перемещение, скорость перемещения, напряжение, температура и т. д.) представляется через конечное число её дискретных значений в узлах элементов.

В общем случае непрерывная величина заранее неизвестна и нужно определить значения этой величины в некоторых внутрен­них точках области. Дискретную модель, однако, очень легко по­строить, если сначала предположить, что числовые значения этой величины в каждой внутренней точке области известны. После этого можно перейти к общему случаю. Итак, при построении дис­кретной модели непрерывной величины поступают следующим об­разом:

1. В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек. Эти точки называются узловыми точками или просто уз­лами.

2. Значение непрерывной величины в каждой узловой точке считается переменной, которая должна быть определена.

3. Область определения непрерывной величины разбивается наконечное число подобластей, называемых элементами. Эти элемен­ты имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области.

4. Непрерывная величина аппроксимируется на каждом элементе полиномом, который определяется с помощью узловых зна­чений этой величины. Для каждого элемента определяется свой полином, но полиномы подбираются таким образом, чтобы сохра­нялась непрерывность величины вдоль границ элемента

Коэффициенты аппроксимирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами (в узлах). Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов. Составляется система линейных алгебраических уравнений

Количество уравнений равно количеству неизвестных значений в узлах, на которых ищется решение исходной системы, прямо пропорционально количеству элементов и ограничивается только возможностями ЭВМ. Так как каждый из элементов связан с ограниченным количеством соседних,

система линейных алгебраических уравнений имеет разрежённый вид,

что существенно упрощает её решение

14. Колебания систем с одной степенью свободы. Резонанс. Биения.

Упругими колебаниями называют движения упругих тел, представляющие собой периодические отклонения их относительно положения равновесия.

собствен­ными колебания - движение системы при отсутствии внешних воздействий. Если колебание системы сопровождается действием внешних сил, то движение называется вынужденным.

число степеней свободы системы – наименьшее количество независимых геометрических параметров, определяющих положение всех масс системы в произвольный момент времени. Системами с одной степенью свободы будут такие, у которых для полной фиксации их геометрического состояния в любой момент времени достаточно знать один параметр, например, положение определенной точки. Таковы, например, растянутая или сжатая незначительного веса пружина с грузом на конце, совершающая продольные колебания; небольшого (сравнительно с грузом Q) собственного веса балка, колеблющаяся в направлении, перпендикулярном к ее оси, и т. п. 

Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания, которые описываются тригонометрическими функциями синуса или косинуса, например, (15.4)

где А₀ – амплитуда, т.е. максимальное значение обобщенной координаты x при колебаниях системы (рис. 15.25); – круговая частота свободных колебаний; – фаза колебаний; – начальная фаза колебаний, т.е. фаза в момент времени t = 0.

Промежуток времени за который совершается полный цикл ко­лебаний, носит название периода собственных или вынужденных колебаний, смотря по тому, о каких колебаниях идет речь. Период колебаний обозначается через Т. Величина обратная Т, называется частотой колебаний:,

и представляет собой число колебаний в течение одной секунды. В технике в большинстве случаев используется понятие круговой частоты , представляющей собой число колебаний за секунд.

Период колебаний и круговая частота свободных колебаний связаны зависимостью (15.5)

Круговая частота связана с сосредоточенной массой m и жесткостью с системы зависимостью (15.6)

Жесткость системы – это сила, которая вызывает перемещение, равное единице. Часто масса колеблющейся системы считается постоянной, а упругая система линейной, для которой сила упругости Р = mg (g – ускорение свободного падения) пропорциональна соответствующему перемещению , т. е. (15.7)

Учитывая приведенные выше соотношения, можно записать

Резонанс - явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы. Увеличение амплитуды — это лишь следствие резонанса, а причина — совпадение внешней (возбуждающей) частоты с внутренней (собственной) частотой колебательной системы.

Нежелательное явление для мостов – приводит к разрушениям

Бие́ния — явление, возникающее при наложении двух гармонических колебаний выражающееся в периодическом уменьшении и увеличении амплитуды суммарного сигнала. Биения модулируются по амплитуде. Распространение такого вида колебаний менее эффективно. Частота изменения амплитуды суммарного сигнала равна разности частот двух исходных сигналов. Биения возникают от того, что один из двух сигналов постоянно отстаёт от другого по фазе и в те моменты, когда колебания происходят синфазно, суммарный сигнал оказывается усилен, а в те моменты, когда два сигнала оказываются в противофазе, они взаимно гасят друг друга. Эти моменты периодически сменяют друг друга по мере того как нарастает отставание.