Задача 7
Бригада рабочих за смену изготавливает n деталей. Вероятность того, что каждая изготовленная деталь высшего качества равна p. Какова вероятность того, что за смену изготовлено m деталей высшего качества?
Дано:
|
n |
p |
m |
14 |
800 |
0.4 |
600 |
Решение:
Условие задачи соответствует схеме независимых испытаний. Испытание – изготовление детали. Число испытаний n = 800. Каждое испытание имеет два взаимоисключающих исхода: изготовленная деталь высшего качества (вероятность этого исхода p = 0.4); изготовленная деталь не высшего качества (вероятность этого исхода q = 1 – p = 1 – 0.4 = 0.6).
Так как число испытаний велико, то применим локальную теорему Муавра-Лапласа:
, где , , функция .
Значение функции находим из таблицы.
Событие A – из 800 изготовленных за смену деталей 600 высшего качества. Вероятность события A – это .
; , , .
.
Ответ: вероятность того, что из 800 изготовленных за смену деталей 600 окажется высшего качества, равна 0.
Задача 8
Вычислительное устройство состоит из n независимо работающих элементов. Вероятность выхода из строя каждого элемента одинакова и равна p. Составить закон распределения случайной величины ξ – числа отказавших элементов. Построить график функции распределения F(x). Найти M(ξ) и D(ξ).
Дано:
|
n |
p |
14 |
3 |
0.1 |
Решение:
Условие задачи соответствует схеме независимых испытаний Бернулли. Испытание – работа элемента. Каждое испытание имеет два взаимоисключающих исхода: событие A – элемент вышел из строя (вероятность p(A) = p = 0.1), событие – элемент не вышел из строя (вероятность p( Вероятность наступления события A k раз в n независимых испытаний вычисляется по формуле Бернулли:
.
Составим закон распределения случайной величины ξ – числа отказавших элементов:
ξ = 0;
ξ = 1;
ξ = 2;
ξ = 3;
Проверка:
, следовательно закон распределения составлен верно.
Определим числовые характеристики распределения Mξ и Dξ:
;
.
;
.
В числовом виде:
Задача 9
Задана плотность распределения вероятностей f(x). Определить коэффициент a, функцию распределения F(x), M(, D(, вероятность попадания случайной величины в интервал . Построить графики функций F(x) и f(x).
Дано:
α = 0, β = 1/2,
Решение:
-
Найдем коэффициент a из условия
откуда a=3.
-
Определим
При , тогда
При , , тогда
При , тогда .
-
Построим графики функций f(x) и F(x):
-
Определим M() и D():
-
Определим
Задача 10
Завод выпускает детали, стандартная длина которых a мм. Рассмотрим длину детали как случайную величину ξ, распределенную по нормальному закону со средним квадратическим отклонением ϭ и математическим ожиданием a, определить: 1) вероятность того, что длина наудачу выбранной детали будет больше α и меньше β; 2) вероятность отклонения длины детали от стандартного размера a больше чем на δ мм.
Дано:
|
a |
ϭ |
α |
β |
δ |
14 |
28 |
9 |
20 |
32 |
3 |
Решение:
Для нормально распределенной случайной величины с параметрами а, σ вероятность попадания случайной величины в интервал (α;β) определяется выражением:
, где - интегральная функция Лапласа.
Функция Ф(z) – нечетная. Значение функции Ф(z) выбирается из таблицы.
Вероятность отклонения случайной величины от ее математического ожидания а более чем на δ определяется выражением:
1) Подставляя в выражение (1) соответствующие значения, определим вероятность того, что длина наудачу выбранной детали будет больше 20 и меньше 32 мм:
2) Подставляя в выражение (2) соответствующие значения, определим вероятность отклонения длины ξ наудачу выбранной детали от стандартного размера 28 мм более чем на 3 мм:
Ответ: вероятность того, что длина наудачу выбранной детали будет больше 20 мм и меньше 32 мм равна 0,4833, а вероятность отклонения детали от стандартного размера 28 мм более чем на 3 мм равна 0,7414.