Глава 4. Механика вращательного движения твердого тела

Все реально существующие твердые тела под влиянием приложенных к ним сил деформируются, т.е. изменяют свою форму. Для упрощения рассуждений введем понятие абсолютно твердого тела.

Абсолютно твердым телом называется тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться, т.е. расстояние между двумя частицами этого тела всегда остается постоянным.

4.1. Момент инерции

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции.

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется скалярная величина, равная произведению массы точки на квадрат ее расстояния до оси вращения:

. (4.1.1)

Размерность: .

Момент инерции системы (тела) относительно оси вращения равен сумме моментов инерции всех материальных точек, составляющих систему (тело):

.

В случае твердого тела (которое можно рассматривать как механическую систему, масса которой распределена по всему объему тела ), эта сумма сводится к интегралу:

. (4.1.2)

Если тело однородно, т.е. его плотность одинакова по всему объему (непрерывное распределение масс), то: и .

Примеры расчета момента инерции некоторых тел правильной геометрической формы:

1) Найти момент инерции однородного тонкого стержня массой и длиной , если ось проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно к стержню.

Решение:

Разобьем участок стержня АС на элементарные стержни бесконечно малой длины и массы (рис. 4.1.1).

Пусть расстояние от точек некоторого элементарного стержня до оси равно (поскольку мала, то считаем, что все точки элементарного стержня лежат на одинаковом расстоянии от оси вращения). Тогда момент инерции элементарного стержня . Поскольку стержень однородный (масса равномерно распределена по всей его длине), то линейная плотность

стержня (масса единицы длины тела) и масса элемента стержня . Тогда и момент инерции всего стержня . С учетом того, что расстояние от центра масс , через который проходит ось , до любого элементарного стержня изменяется от до , проставим пределы интегрирования: .

2) Найти момент инерции тонкого однородного кольца массой и радиусом относительно оси , перпендикулярной к плоскости основания и проходящей через его центр.

Решение:

Выберем малый элемент кольца массой . Поскольку все малые элементы кольца находятся на одном и том же расстоянии от оси(рис. 4.1.2), проходящей через его центр масс точку С, то и .

3) Найти момент инерции однородного сплошного цилиндра массой и радиусом относительно оси , перпендикулярной к плоскости основания и проходящей через его центр.

Решение:

Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины с внутренним радиусом , внешним и массой (рис. 4.1.3). Пусть высота цилиндра.

Момент инерции каждого полого элементарного цилиндра . Поскольку , считаем, что расстояние от всех точек цилиндра до оси равно .

Т.к. цилиндр однородный сплошной, то его масса распределена по объему с объемной плотностью , и , где объем элементарного цилиндра и . Тогда и . С учетом того, что изменяется от 0 до , момент инерции искомого цилиндра .

Т.к. объем сплошного цилиндра , то и .

4) Найти момент инерции однородного сплошного шара массой и радиусом относительно оси , проходящей через центр шара.

Решение:

Разобьем шар на бесконечно малые цилиндры высотой и имеющие радиусы и массу , где объем элементарного цилиндра (рис. 4.1.4). Тогда, учитывая, что момент инерции однородного цилиндра (см. предыдущий пример):

. Т.к. масса шара , то .

5) Найти момент инерции полого шара массой и внешним радиусом, внутренним радиусом относительно оси , проходящей через центр шара.

Решение:

Момент инерции полого шара можно представить как , где момент инерции шара с радиусом , момент инерции шара с радиусом . С

учетом момента инерции сплошного шара (см. предыдущий пример), получаем .

Т.к. масса шара с радиусом , а масса шара с радиусом , то . Из выражения найдем плотность шара . Тогда .

Таблица 4.1.1.

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы

относительно оси, проходящей через центр масс тела

Тело массой	Положение оси	Момент инерции
Прямой тонкий стержень длиной	Проходит через середину перпендикулярно стержню
Тонкие кольцо, обруч, маховик, полый тонкостенный цилиндр радиусом	Проходит через центр перпендикулярно к плоскости основания
Сплошной цилиндр (диск) радиусом	Проходит через середину перпендикулярно к плоскости основания
Сплошной шар радиусом	Проходит через центр шара
Полый тонкостенный шар радиусом	Проходит через центр шара

Пример 4.1.1. Три маленьких шарика массой каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной и скреплены между собой. Определить момент инерции системы относительно оси: 1) перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности; 2) лежащей в плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности и одну из вершин треугольника. Массой стержней, соединяющих шары, пренебречь.