- •Глава 4. Механика вращательного движения твердого тела
- •4.1. Момент инерции
- •Примеры расчета момента инерции некоторых тел правильной геометрической формы:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Р Дано: ,. ; ешение:
- •4.2. Теорема Штейнера
- •Р Дано: , , ,. Ешение:
- •Р Дано: ,,, . Ешение:
- •4.3. Кинетическая энергия вращающегося тела
- •Р Дано: ,. ; ешение:
- •4.4. Работа сил при вращательном движении
- •4.5. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела
- •Р Дано: ,, . Ешение:
- •Р ешение:
- •Р Дано: , , . Ешение:
- •Р Дано: , , , , . Ешение:
- •4.6. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса
- •Основные динамические характеристики и законы поступательного и вращательного движений
- •Р Дано: , , , . Ешение:
- •Р Дано: , , , . Ешение:
- •Р Дано: . , ешение:
- •4.7. Свободные оси. Гироскопический эффект
- •Глава 5. Механические колебания
- •5.1. Общие представления о колебательных процессах
- •5.2. Механические гармонические колебания
- •5.3. Гармонический осциллятор. Маятники
- •5.4. Сложение гармонических колебаний одного направления
- •5.5. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •5.6. Затухающие колебания. Автоколебания
- •5.7. Вынужденные колебания. Резонанс
- •Глава 6. Элементы специальной теории относительности
- •6.1. Постулаты специальной теории относительности
- •6.2. Преобразования Лоренца
- •6.3. Законы релятивисткой динамики материальной точки
Р Дано: . , ешение:
При падении карандаш будет вращаться вокруг оси, проходящей через точку О (рис. 4.6.4). Внешние силы отсутствуют, поэтому система замкнута и выполняется закон сохранения полной механической энергии: Е1=Е2, где Е1 – полная механическая энергия в первом состоянии системы (карандаш стоит вертикально); Е2 – полная механическая энергия во втором состоянии – системы (карандаш касается стола после падения).
Полная механическая энергия в состоянии 1: , где (центр масс системы поднят на высоту, равную половине длины карандаша), (карандаш неподвижен).
Полная механическая энергия в состоянии 2:, где
(карандаш лежит на столе), . Момент инерции карандаша (стержня) относительно оси, проходящей через его край, находим по теореме Штейнера: . Поэтому .
Следовательно, любая точка карандаша (и середина, и верхний конец) вращается с угловой скоростью . Учитывая связь между линейной и угловой скоростью, находим, что линейная скорость середины карандаша (точка С) равна . Линейная скорость верхнего конца карандаша (точка А) равна .
Ответ: , , .
4.7. Свободные оси. Гироскопический эффект
Опыт показывает, что если тело привести во вращение вокруг некоторой оси, а затем предоставить его самому себе, то положение оси вращения в пространстве изменяется со временем. Сохранить неизменным положение оси вращения можно, если зафиксировать ее с помощью подшипников. Однако существуют такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия на них внешних сил. Эти оси называют свободными осями.
В
Рис. 4.7.1. Свободные оси
параллелепипеда
Для устойчивости вращения большое значение имеет, какая именно из свободных осей служит осью вращения. Опыт показывает, что вращение вокруг осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции оказывается устойчивым, а вращение вокруг оси со средним моментом инерции – неустойчивым.
Т
Рис. 4.7.2. К объяснению
гироскопического эффекта
эффект
Свойство свободных осей сохранять свое положение в пространстве широко применяется в технике. Наиболее интересны в этом плане гироскопы – массивные однородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью вокруг своей оси симметрии, являющейся свободной осью.
Чтобы ось гироскопа изменила свое направление в пространстве, необходимо, чтобы момент внешних сил был отличен от нуля. При попытке вызвать поворот оси гироскопа наблюдается явление, получившее название гироскопического эффекта: под действием сил, которые должны были бы вызвать поворот оси гироскопа вокруг прямой , ось гироскопа поворачивается вокруг прямой (рис.4.7.2). Противоестественное на первый взгляд поведение гироскопа полностью соответствует законам динамики вращательного движения. Действительно, момент сил и , стремящихся повернуть ось гироскопа вокруг оси , направлен вдоль прямой влево (по правилу буравчика).
За время момент импульса гироскопа получит приращение , причем это приращение имеет такое же направление, как и (вектор лежит в плоскости чертежа и направлен влево). Спустя время момент импульса гироскопа станет равен (вектор лежит в плоскости рисунка). Так как направление момента импульса совпадает с направлением оси гироскопа, то направление совпадает с новым направлением оси гироскопа. Таким образом, ось гироскопа повернется на угол вокруг оси .
Если ось гироскопа закреплена подшипниками, то вследствие гироскопического эффекта возникают гироскопические силы, действующие на опоры, в которых вращается ось гироскопа. Их необходимо учитывать при конструировании устройств, содержащих быстровращающиеся массивные составные части (например, подшипники паровых турбин на кораблях).
Гироскопы применяются в различных навигационных приборах (гирокомпас, гирогоризонт, авторулевой, автопилот и т.д.).