Р Дано: ,. ; ешение:

1

а) б)

Рис. 4.1.5. К примеру 4.1.1.

Ось вращения проходит

а) перпендикулярно плоскости рисунка

б) в плоскости рисунка

. Пусть ось вращения проходит через центр описанной окружности перпендикулярно плоскости треугольника (рис. 4.1.5.а). Имеем систему, состоящую из трех материальных точек, расположенных на одинаковом расстоянии от оси вращения.

Поэтому: .

2. Пусть ось вращения лежит в плоскости треугольника и проходит через центр описанной окружности и одну из вершин треугольника (рис. 4.1.5.б). Имеем систему, состоящую из трех материальных точек, одна из которых лежит на оси вращения , а две другие расположены от оси вращения на одинаковом расстоянии .

Поэтому: .

Ответ: , .

Пример 4.1.2. Длина одной стороны плоской прямоугольной однородной пластины , масса . Найти момент инерции пластины относительно оси , совпадающей с другой ее стороной.

Дано: Решение:

Р

,.

азобьем пластину на тонкие полоски (элементы) бесконечно малой ширины , расположенные на расстоянии до оси вращения (рис. 4.1.6). Поскольку , считаем, что расстояние от всех точек полоски до оси одинаково.

Пластина однородна, следовательно, поверхностная плотность одинакова по всей пластине.

Масса полоски , где площадь полоски.

Искомый момент инерции пластины

.

Ответ: .

4.2. Теорема Штейнера

Нахождение моментов инерции в рассмотренных в предыдущем параграфе примерах 1-5 значительно упрощалось вследствие того, что момент инерции тел определялся относительно оси симметрии, проходящей через их центр масс.

Если известен момент инерции какого-либо тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции тела относительно произвольной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

. (4.2.1)

Пример 4.2.1. Найти момент инерции обруча массой и радиусом относительно оси , перпендикулярной обручу и проходящей через его край.

Дано:

, .

Решение:

По теореме Штейнера . Момент инерции обруча относительно оси, проходящей через его центр масс , равен (см. таблицу 1) .

Расстояние между осями (рис. 4.2.1), следовательно, искомый момент инерции равен .

Ответ: .

Пример 4.2.2. Найти момент инерции тонкого стержня массой и длиной относительно оси , перпендикулярной стержню и проходящей через точку, отстоящую от конца стержня на одну треть его длины.

Дано:

, .

Решение:

По теореме Штейнера . Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр масс , равен (см. таблицу 1) . Расстояние между осями (рис. 4.2.2), следовательно, искомый момент инерции равен .

Ответ: .

Пример 4.2.3. Два шара радиусами и массой каждый скреплены тонким стержнем массой и длиной . Найти момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр тяжести.