Вопросы

1.Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием q.

2. Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в систему 2-ю и 8-ю системы счисления.

4. Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в 16-ю систему счисления.

5. Перевести число 0.35 в 2- системы счисления.

6. Перевести число 0.35 в 8-ю систему счисления.

7. Перевести число 0.35 в 16-ю систему счисления.

8. Хранение в ЭВМ целых чисел 15, 234, 127, 34 (в 2-х байтах).

9. Двоичное число без знака.

10. Обратный код числа

11. Представить в обратном коде 19, 125, -15, -127, -57.

Лекция № 6

Дополнительный код. Представление дробных чисел.

Для образования дополнительного кода коэффициент С выбирают равным C = 2ⁿ.

Тогда значение числа определяется выражением:

,

где d_n , d_n-1, ..., d₁, d₀  цифры и соответствующие веса цифр: 0 и 1; d_n  дополнительный знаковый разряд, для неотрицательных чисел равен 0 (d_n = 0), для отрицательных чисел равен единице (d_n = 1); d_nd_n-1...d₁d₀  запись целого (n+1)-разрядного отрицательного числа в дополнительном коде; n, п  1, ..., 1, 0  номера разрядов; d_i  2ⁱ  весовой коэффициент i-го разряда дополнительного кода числа (i = 0, n1). Весовой коэффициент n-го разряда дополнительного кода числа равен 2ⁿ.

Пусть в дополнительном коде число имеет вид: 1100. Тогда это число в прямом коде равно:

N = 1  (2³) + 1  2² + 0  2¹ + 0  2⁰ = 8 + 4 + 0 + 0 = 4₁₀ = 100₂.

Пусть в дополнительном коде число имеет вид: 0100. Тогда это число в прямом коде равно:

N = 0  (2³) + 1  2² + 0  2¹ + 0  2⁰ = 0 + 4 + 0 + 0 = 4₁₀ =+100₂.

Найдем правило записи отрицательного числа в прямом коде, представленном в дополнительном коде:

;

;

.

Так как ,то:

;

;

;

.

Чтобы записать прямой код отрицательного числа, представленного в n-разрядном дополнительном коде, необходимо:

1. отбросить знаковый разряд d_n;

2. найти обратный код полученного числа. Для этого необходимо заменить в разрядах d_i (i=0, n1) нули единицами, а единицы  нулями;

3. к полученному числу прибавить единицу. При этом будет получена абсолютная величина искомого отрицательного числа в двоичной системе счисления;

4. слева приписать к полученной абсолютной величине знак «минус».

Пример 6. Найдем запись двоичного числа в прямом коде, если его четырехразрядный дополнительный код равен 1100.

1. Отбросим старший разряд: 1100  100.

2. Найдем обратный код дополнительного кода числа:

100

011

3. К полученному числу прибавим единицу:

011₂ + 1₂ = 100₂.

4. Слева к полученному числу припишем знак «минус»:

100₂  100₂.

Пример 6.2. Найдем запись двоичного числа в прямом коде, если его четырехразрядный дополнительный код равен 1000.

1. Отбросим старший разряд: 1000  000.

2. Найдем обратный код дополнительного кода числа:

000

111

3. К полученному числу прибавим единицу:

111₂ + 1₂ = 1000₂.

4. Слева к полученному числу припишем знак «минус»:

1000₂  1000₂.

Пример 6.3. Найдем запись двоичного числа в прямом коде, если его четырехразрядный дополнительный код равен 1111.

1. Отбросим старший разряд: 1111  111.

2. Найдем обратный код полученного числа:

111

000

3. К полученному числу прибавим единицу:

0₂ + 1₂ = 1₂.

4. Припишем знак «минус»:

1₂  1₂.

Определим правило нахождения n разрядного дополнительного кода целого m-разрядного отрицательного числа:

;

;

;

.

Чтобы найти представление mразрядного двоичного целого отрицательного числа в дополнительном коде с количеством двоичных разрядов n (n > m) необходимо выполнить следующие действия:

1. дополнить число слева n-m нулями до разрядности n, a_n = 0;

2. найти обратный код полученного числа. При этом двоичные нули исходного числа заменяются двоичными единицами, а двоичные единицы  двоичными нулями, 1  a_n становится равным единице;

3. к полученному обратному коду прибавить единицу.

Пример 6.4. Найдем шестиразрядный дополнительный код числа 100₂.

1. Дополним исходное число до необходимой разрядности:

100  00100.

2. Найдем обратный код полученного числа:

00100

11001

3. Прибавим единицу к полученному коду:

11001 + 1 =11010.

4. Припишем единицу знакового разряда:

11010  111010.

Заметим, что отрицательные целые n-разрядные числа вида 2^n-1 можно записать в дополнительном коде с n разрядами.

Пример 6.5. Найдем шестиразрядный дополнительный код шестиразрядного числа 2⁵.

1. Дополнять исходное число 2^{5 =} 100000₂ до разрядности равной 6 в этом случае нет необходимости. Число 2⁵ уже шестиразрядное.

2. Найдем значения 1  a_i (i = 1,6) :

a_i 100000

1  a_i 011111

3. Прибавим единицу к полученному числу:

011111 + 1 =100000.

4. Припишем единицу знакового разряда слева к числу в этом случае нет необходимости, так как уже b₅ = 1.

Таким образом, дополнительный код числа 2⁵ равен 100000. Проверим результат преобразования.

1. Отбросим знаковый разряд:

00000.

2. Восстановим прямой код полученного числа:

11111.

3. К полученному числу прибавим единицу:

11111₂ + 1₂ = 100000₂.

4. Слева к полученному числу припишем знак «минус»:

100000₂  100000₂.

Полученный результат совпал с исходным числом:

100000₂ = 2⁵.

Значения минимальных отрицательных и максимальных положительных целых чисел, которые можно хранить в дополнительном коде в словах размера 1, 2, 4 и 8 байтов, показаны в табл. 6.1. При заполнении таблицы использовались выражения для определения минимального отрицательного и максимального положительного числа:

L_min = 2^8l–1; (6.1)

L_max = 2^8l–1  1, (6.2)

где L_min  минимальное целое отрицательное число, представленное в обратном коде; L_max  максимальное целое положительное число, представленное в обратном коде; l  размер слова в байтах.

Таблица 6.1

Размер слова в байтах	Размер слова в битах	Значение минимального числа	Значение максимального числа
1	8	2^7= 128	(2^7 1)= 127
2	16	2^15 = 32768	(2^15  1) = 32767
4	32	2^31 = 2147483648	(2^31  1) = 2147483647
8	64	2^63 < 16  10^18	(2^63  1) < 16  10^18