21) Дать понятие вектора на плоскости и в пространстве, определить линейные операции над векторами в геометрической форме, изложить их свойства.

Вектором как на плоскости так и в пространстве называется направленный отрезок у которого

различают точку приложения начало и конец.

Линейные операции над векторами

и их свойства:

Суммой векторов а и б называется вектор с:

а(вектор)+б(вектор)=с(вектор)

1)а(вектор)+б(вектор)=б(вектор)+а(вектор)

2)(а+б)+с=а+(б+с)(над всеми буквами ставить стрелку )

3)а+0=0+а=а(над всеми буквами и цифрами ставить стрелку )

4)а+(-а)=(-а)+а=0(над всеми буквами и цифрами ставить стрелку )

Под разностью двух векторов а и б(стрелки вверху)понимается третий вектор с(стелка вверху) такой что б+с=а(стрелки над ними)

2.а-б=с=>б+с+а(над всеми буквами стрелки)

Свойство операции умножения вектора на число:

1)£(βа)=( £β)а (над а и б везде стрелки вверху)

2)( £+ β)а=£а+ βа £ и β€ R

3) £(а+б)= £а+£б

4)(-1)а= -а

5)0 а=0(стрелка вверху)

22) Дать понятие базиса на плоскости и в пространстве, сформулировать теоремы о разложении произвольного вектора по базису на плоскости и в пространстве и доказать их. Определить понятия проекции точки и вектора, координат вектора в данном базисе.

Базисом на плоскости являются любые два неколлинеарных вектора, взятых в определенном порядке, а Базисом в пространстве — любые три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке.

Теорема о разложении вектора по базису на плоскости

Любой вектор на плоскости может быть разложен и при том единственным образом по любым двум неколлинеарным векторам.

Числа x и y называют координатами данного вектора в данном базисе.

Совокупность начала О и прямоугольного базиса называют прямоугольной Декартовой системой координат. Точку О называют началом координат. Векторы базиса называют координатными векторами.

Теорема о разложении вектора по базису в пространстве

Любой вектор в пространстве может быть разложен и при том единственным образом по трём заданным некомплонарным векторам.

Совокупность точки начала и прямоугольного Декартового базиса в пространстве даст нам прямоугольную Декартовую систему координат в пространстве.

Координаты вектора это проекции на его координатную плоскость.

23) Изложить понятие прямоугольной декартовой системы координат. Записать форму для вычисления длины вектора. Определить линейные операции над векторами в прямоугольных декартовых координатах и записать соответствующие формулы.

Аффинная система координат— прямолинейная система координат в аффинном пространстве.Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X'X и Y'Y. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление. В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси Y'Y вверх, ось X'X смотрела направо. (САМАЯ ОБЫЧНАЯ ОСЬ КОТОРУЮ МЫ ВСЕГДА ЮЗАЕМ)

АB(вектор)=(Х_b-Х_а,У_b-У_а,Z_b-Z_а) от точки конца вычесть точки начала / Ленейные операции над векторами 1слож.Сумма векторов а и b есть вектор C; А+B=C (все велечины векторы) 1)а+B=B+а; 2)(A+B)+C=A+(B+C); 3)A+0=A0=A; 4)A+(-A)=0; разность;А-B =C такой чтоб было справедливо равенство B+C=A ;3Произв. Вектора на число α€ R, B=α A , B= │α│ A

24) Дать определение скалярного произведения векторов, изложить его свойства, вывести формулу для вычисления в координатной форме. Изложить механический смысл скалярного произведения.

Скалярным произв двух ненулевых векторов наз. число, равное произведению их длин на cos угла между векторами/ Свойства скаляр произв 1 AB=BA; 2 α(AB)=(Αa)B=A(Bα) ; 3 A(B+C)=AB+AC ; Формула для выч: AB=AxBx+AyBy+AzBz; !!!; Cos (A,B) ; Механич смысл:A=│F││S│cos