Раздел 1:Основы дифференциальной геометрии §1. Векторные функции скалярного аргумента. Предел, непрерывность, производная и интеграл Римана вектор-функции.

Будем рассматривать трёхмерное Евклидово пространство , т.е. пространство, в котором определена операция скалярного произведения. Говорят, что в задана векторная функция , определённая на множестве , если для каждого ставится в соответствие (причём - одномерное множество).

Рассмотрим случай, когда -отрезок. В введём ортонормированный базис . Тогда вектор можно разложить по данному базису: , где , , - проекции вектора на соответствующие орты. назовем пределом векторной функции в точке , если (1). Так как под знаком предела стоит модуль, то это скалярная величина. Обозначим этот предел как . (но подразумевать под этим выражением будем выражение (1)). Если , то можно доказать следующее утверждение:

Теорема 1: является пределом функции в точке тогда и только тогда , когда , , .

Доказательство.

Непосредственно из определения имеем:

. (2)

Очевидно, что правая часть равенства (2) стремиться к 0, так как , , при . Так как каждая из скобок стремиться к 0, то и левая часть равенства (1) стремиться к 0, что и требовалось доказать.

В екторная функция называется непрерывной в точке , если .

Векторная функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке отрезка.

Из непрерывности функции следует непрерывность её компонентов , , и наоборот.

Производной векторной функции в точке t называется:

.

Производная обозначается несколькими эквивалентными способами: , . Вторая производная определяется как производная от первой .

Выберем точку и отложим от неё множество векторов (см. рис. 1). Кривая, которую образуют концы векторов, называется годографом.

Рассмотрим более подробно два соседних вектора и их разность (см. рис. 2). Очевидно, что вектор при начинает скользить по годографу. То есть геометрическим смыслом производной является вектор, лежащий на касательной к годографу.

Д ля того, что бы функция была дифференцируема, необходимо выполнение равенства :

, (3)

где .

Свойства производной.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Доказательство пятого свойства.

Из определения производной имеем:

.

Согласно (3) получаем:

.

Пренебрегая бесконечно малыми величинами второго и более высоких порядков, имеем:

,

что требовалось доказать.

Теорема 2: Если , то вектор перпендикулярен вектору .

Доказательство.

Из условия теоремы имеем:

.

Продифференцировав это равенство, получим:

,

что и требовалось доказать.

Используя равенство , можно разложить векторную функцию в ряд Тейлора:

.

§2. Кривые в пространстве, длина дуги кривой.

Понятие прямая так же как и понятие точки первичны и не определяются. Рассмотрим отображение некоторой точки в трехмерное пространство и обозначим его . Будем говорить, что отображение непрерывно, если , такое, что если , то . Если отображение непрерывно в каждой точке М, то оно непрерывно и на всём множестве М.

Непрерывное отображение отрезка в пространстве называется линией в пространстве. Также под линией будем понимать образ, полученный при таком отображении. Линии в пространстве удобно описывать в виде , причём если эти векторы откладывать от одной точки.

Рассмотрим случай, когда образы двух векторных функций совпадают, то есть , , где , . Эти две линии определяют одну линию, если существует монотонная функция , , , такая что .

Далее будем требовать, чтобы производная была непрерывна на интервале .

Линию назовем гладкой, если векторная функция (где ), определяющая эту линию, имеет непрерывную производную во всех точках отрезка .

Всякая гадкая линия, заданная уравнением (где ), имеет конечную дину, которая может быть вычислена по следующей формуле:

.

Д оказательство.

Возьмём в качестве линии совокупность её стягивающих хорд. Тогда: - длина стягивающей хорды, причём точка - точка, в которой касательная параллельна хорде. При суммировании по данного равенства получим искомую формулу, что и требовалось доказать.

Введём функцию . Эта функция имеет производную . По теореме Барроу мы можем найти эту функцию. Она монотонная, поэтому для неё существует обратная, которая тоже будет монотонной , , где , .

Когда в качестве параметра выбрана длина линии ,то говорят, что линия задана в натуральной параметризации, а сам параметр l называется натуральным параметром.

Линия L, заданная уравнением , называется кусочно-гладкой, если отрезок можно разделить на конечное множество отрезков, на каждом из которых линия будет гладкой.

Линия L, заданная уравнением , называется регулярной, если она гладкая и . Если линия (т.е. задана в произвольной параметризации) регулярна, то и в натуральной параметризации она так же будет регулярной.