6.4. Второе соотношение Циолковского.
Второе соотношение
Циолковского определяет максимально
возможный к.п.д. ракетного двигателя.
По-прежнему считаем, что ракета движется
вне силовых полей, а относительная
скорость продуктов сгорания топлива
постоянна. Кроме того, полагаем, что
потерями на нагрев корпуса ракеты и на
излучение можно пренебречь. При таких
предположениях работа двигателя
определяется изменением кинетической
энергии системы «ракета ― отделившиеся
продукты сгорания топлива». При этом
полезная работа определяется
изменением кинетической энергии только
корпуса ракеты, а вся затраченная работа
― изменением кинетической энергии
всей системы.
Положим,
что в момент времени t
масса ракеты была М, а скорость её .
В момент времени t+dt
система состояла из одного тела массой
M+dM,
двигавшегося со скоростью
d, и отделившихся продуктов сгорания массы –dM, двигавшихся со скоростью .
Полная
работа, совершённая двигателем за
промежуток времени dt,
равна:
Пренебрегая
величинами второго и третьего порядка
малости, получим:
Абсолютная скорость продуктов сгорания топлива связана с относительной соотношением:
С учётом этого:
И
спользуя
соотношение Циолковского и полагая в
нём, что скорость ракеты в начале
активного участка траектории равна
нулю, последнее соотношение приведём
к одной переменной:
Интегрируя это
равенство в пределах изменения массы
ракеты (от до ), получим значение
полной работы, совершённой двигателем:
Полезная работа, совершённая двигателем за промежуток времени dt, равна:
Используя 1-е соотношение Циолковского, последнее равенство можно записать в виде:
Это дифференциальное выражение удобно интегрировать методом интегрирования «по частям», согласно которому:
П
олезная
работа на всём активном участке траектории
равна:
Первый из интегралов интегрируем «по частям», полагая:
Тогда:
Согласно (109):
Подставив это
значение в (110) получим:
П
о
определению коэффициент полезного
действия ракетного двигателя равен:
Учитывая, что
и , запишем окончательный
вид второго соотношения Циолковского:
6.5. Линейный режим работы ракетного двигателя.
При линейном
режиме работы ракетного двигателя масса
ракеты уменьшается со временем по
линейному закону:
г
де
α определяет скорость сгорания топлива.
При таком режиме массовый расход равен:
т
.е.
со временем массовый расход не изменяется.
Уравнение Мещерского при отсутствии
внешних сил имеет вид:
Очевидно, что
реактивная сила со временем
не изменяется. В то же время ускорение
ракеты возрастает по закону:
Таким образом, при линейном режиме реактивная сила постоянна, а ускорение ракеты и, соответственно, силы инерции, действующие на тела в корпусе ракеты со временем возрастают.