Кафедра301 Рациональное управление объектами теория и приложения

приближении будем считать, что сила R приложена в центре масс материальной системы и не создаёт моментов, вращающих систему. Силу аэродинамического

сопротивления				раскладываем		на	направления			радиуса-вектора	и
перпендикулярно ему по направлениям σ и χ.
Учитывая,			что	V2	= r2 + r2σ 2 + r2χ 2 ,			получаем		проекции	силы
аэродинамического сопротивления:
	1) на радиус-вектор
						R r	= Crr2 ,				(3.9)
где	Cr	–	коэффициент,		учитывающий		проекцию		CR	на радиус-вектор и
множитель ρS/2;
	2) на направление σ
						Rσ = Cσ r2σ 2 ,				(3.10)
где Cσ – коэффициент, учитывающий проекцию CR на направление σ и
множитель			1ρS;
			2
	3) на направление χ
						Rχ = Cχ r2χ2 ,				(3.11)
где	Cχ	–	коэффициент,		учитывающий		проекцию		CR	на направление	χ и

множитель 12ρS.

На другие обобщённые координаты сила аэродинамического сопротивления проекций не даёт.

Сила N взаимодействия ЛА с внешним препятствием. В полёте ЛА возможны столкновения с препятствиями, при этом со стороны последних на защитную оболочку действует сила N. Поверхность защитной оболочки близка к сферической. Взаимодействие оболочки с препятствием может происходить со стороны передней полусферы, если смотреть по вектору скорости полёта ЛА. Величина и направление силы взаимодействия с препятствием − это неопределённые величины, зависящие от гладкости и жесткостей препятствия и защитной оболочки.

В рамках рассматриваемой задачи силу N взаимодействия с препятствием переносим из точки взаимодействия на защитной оболочке в центр масс системы статическим нулём, т. е. с добавлением момента, равного произведению силы на плечо до центра масс системы. Далее поступаем так: момент воздействует на вращающиеся части системы через подвижные корпус и кольца подвеса, а силу

100

раскладываем на составляющие вдоль радиуса-вектора и перпендикулярно ему по направлениям, задаваемым углами σ и χ.

Сила руля продольного управления. Определяем проекции силы руля продольного управления PП на радиус-вектор r и направления σ , χ, υ. Сила руля продольного управления PП создаётся рулём продольного управления вследствие отклонения потока воздуха, создаваемого воздушными винтами, и (как тяга) в первом приближении равна сумме сил, создаваемых каждым винтом в отдельности. Сила PП приложена в центре давления руля продольного

управления на расстоянии lП от оси вращения ЛА:
				PП = KПPσП ,			(3.12)
где KП – коэффициент пропорциональности по тяге;
σП – угол отклонения руля продольного управления.
Сила		П лежит в плоскости, перпендикулярной				, и её проекции на оси
	P				P
связанной системы координат таковы:
				PПx = −PП , PПy = 0, PПz = 0.			(3.13)
Проекции				П на оси нормальной системы координат:
			P
		PПxg = −PП cosψ cosυ ; PПyg = −PП sinυ ; PПzg = −PП sinψ cosυ .					(3.14)
Спроектируем горизонтальные проекции PПxg и PПzg на горизонтальную
проекцию радиуса-вектора:
				PПrП = PПxg cosχ + PПzg sinχ .			(3.15)

Проекция силы продольного управления PП на радиус-вектор:

PПr = PПrП cosσ + PПyg sinσ = cosσ (PПxg cosχ + PПzg sinχ) + PПyg sinσ . (3.16)

Проекция силы продольного управления PП на направление σ :

				PПσ = PПyg cosσ .				(3.17)
Проекция силы продольного управления							П на направление χ:
					P
		PПχ = PПxg sinχ − PПzg cosχ .						(3.18)
Проекция силы продольного управления						П на направление ν :
					P
				PПν = PПlП .				(3.19)
Сила руля бокового управления. Определяем проекцию силы руля бокового
управления		Б на радиус-вектор	r	и направления σ , χ,				υ. Сила руля бокового
	P

управления PБ создаётся рулём бокового управления вследствие отклонения потока воздуха, создаваемого воздушными винтами, и (как тяга) в первом приближении равна сумме сил, создаваемых каждым винтом в отдельности. Сила

101

PБ приложена в центре давления руля бокового управления на расстоянии lБ от оси вращения ЛА по крену:

				PБ = KБPσ Б ,			(3.20)
где KБ – коэффициент пропорциональности по тяге;
σ Б – угол отклонения руля бокового управления.
Сила		Б лежит в плоскости, перпендикулярной				, и её проекции на оси
	P				P
связанной системы координат соответственно равны:
				PБx = 0, PБy = 0 , PБz = − PБ .			(3.21)
Проекции				Б на оси нормальной системы координат:
			P
				PБxg = − PБ (sin ψ cosγ + cosψ sin υ sin γ ) ;
				PБyg = PБ cosυ sin γ ;			(3.22)
				PБzg = − PБ (cosψ cosγ + sin ψ sin υ sin γ ) .
Спроектируем горизонтальные проекции PБxg и PБzg							на горизонтальную
проекцию радиуса-вектора:
				PБrП = PБxg cosχ + PБzg sinχ .			(3.23)

Проекция силы бокового управления PБ на радиус-вектор:

PБr = PБrП cosσ + PБyg sinσ = cosσ (PБxg cosχ + PБzg sinχ) + PБyg sinσ . (3.24)

Проекция силы руля бокового управления		Б на направление σ :
	P
PБσ = PБyg cosσ .			(3.25)
Проекция силы руля бокового управления		Б на направление χ:
	P
PБχ = PБxg sinχ − PБzg cosχ .			(3.26)
Проекция силы руля бокового управления		Б на направление ν :
	P
PБν = PБlБ .			(3.27)

Найденные проекции активных сил позволяют определить создаваемые ими моменты и обобщенные силы.

3.2.5 Определение обобщённых сил системы

Для определения обобщённой силы Qi , соответствующей первой обобщённой координате qi , вычисляем сумму работ всех активных сил на обобщённом возможном перемещении δqi , считая все остальные обобщённые перемещения равными нулю. Обобщённая сила Qi равна коэффициенту при δqi :

102

	Q1 = −mgsinσ + cosσ (Pxg cosχ + Pzg sinχ) + Pyg sinσ −
	− Crr2 − Nz + (PПxg cosχ + PПzg sinχ)cosσ +	(3.28)
	+PПyg sinσ + (PБxg cosχ + PБzg sinχ)cosσ + PБyg sinσ;
	Q2 = r(−mgcosσ + Pyg cosσ − Cσ r2σ2 − Nσ + PПyg cosσ + PБyg cosσ ) ;	(3.29)
	Q3 = r(Pxg sinχ − Pzg cosχ − Cχ r2χ2 − Nχ + PПxg sinχ −	(3.30)
	−PПzg cosχ + PБxg sinχ − PБzg cosχ);
	Q4 = PПlП ; Q5 = M1 + M2 ; Q6 = PБlБ ; Q7 = Ma ; Q8 = Mb ;	(3.31)
	Q9 = Md ; Q10 = M1; Q11 = M2.	(3.32)

Выражения (3.28) – (3.32) обобщенных сил вдоль выбранных обобщенных перемещений отражают взаимосвязь параметров полета в установившемся режиме. Для получения уравнений динамики необходимо определить кинетическую энергию пространственного движения ЛА.

3.2.6 Определение кинетической энергии материальной системы

Кинетическую энергию определяем в абсолютном движении. Кинетическая энергия T рассматриваемой системы состоит из кинетической энергии Tцм

движения центра масс и кинетической энергии вращательных движений вокруг центра масс системы летательного аппарата T1 и защитной оболочки с

кардановым подвесом T2 :
	T = Tцм + T1 + T2 .	(3.33)
Кинетическая энергия движения центра масс системы
Tцм =	1m(r2 + r2σ2 + r2χ2),	(3.34)
	2

где m = m1 + m2 – масса системы в составе массы ЛА m1 и защитной оболочки с кардановым подвесом m2 ;

r– скорость изменения радиуса-вектора;

r– величина радиуса-вектора;

σ– угловая скорость радиуса-вектора по углу места;

χ– угловая скорость радиуса-вектора по азимуту.

Кинетическая энергия T1 вращательного движения ЛА относительно центра масс системы равна сумме кинетической энергии движения центра масс

103

ЛА относительно центра масс системы и кинетической энергии вращения ЛА вокруг своего центра масс:

T1 = 12m1l12 (ω2x + ω2y + ω2z ) + 12 I1xω2x + I1yω2y + I1zωz2 −

(3.35)

−2(I1xyωxωy + I1xzωxωz + I1yzωyωz ) + 12Ip1ε12 + 12Ip2ε22,

где l1 – расстояние между центром масс системы и ЛА;

ωx , ωy , ωz – проекции угловой скорости вращения ЛА;

I1x , I1y , I1z , I1xy, I1xz , I1yz – моменты инерции ЛА относительно связанных

осей;

Ip1, Ip2 – моменты инерции роторов двигателя с воздушными винтами;

ε1, ε 2 – угловые скорости вращения роторов двигателя с воздушными винтами.

Кинетическая энергия T2 вращательного движения защитной оболочки с кольцами карданового подвеса равна сумме кинетической энергии движения центра масс защитной оболочки с кольцами карданового подвеса вокруг центра масс системы и кинетической энергии собственного вращения защитной оболочки и колец карданового подвеса вокруг центра масс защитной оболочки и карданового подвеса:

T1 = 12m2l22 (ω2x + ω2y + ω2z ) + 12 Iоб(ϕ12 + ϕ22 + ϕ32)+

(3.36)

+Iпн (ϕ22 + ϕ32 ) + Iпв (ϕ12 + ϕ32) + Iтнϕ12 + Iтвϕ22 ,

где l2 – расстояние между центрами масс системы и защитной оболочки;

Iоб – момент инерции защитной оболочки относительно любой оси, так как её форма близка к форме поверхности шара;

Iпн, Iпв , Imн , Imв – моменты инерции наружного и внутреннего карданового подвеса относительно осей n − n и m − m ;

ϕ1, ϕ 2 , ϕ3 – угловые скорости вращения колец и защитной оболочки.

При записи выражения кинетической энергии вращения защитной оболочки и колец карданового подвеса принято допущение, что при малых отклонениях взаимного положения колец и защитной оболочки можно пренебречь членами выше второго порядка малости, например, членами, содержащими множители в виде квадратов синусов малых углов.

Тогда выражение для кинетической энергии материальной системы имеет

вид

104

T = 12m(r2 + r2σ2 + r2χ2) + 12m1l12 (ω2x + ω2y + ω2z ) +

+ 12 I1xω2x + I1yω2y + I1zωz2 − 2(I1xyωxωy + I1xzωxωz + I1yzωyωz ) + (3.37) + 12m2l22 (ω2x + ω2y + ω2z ) + 12 Iоб (ϕ12 + ϕ22 + ϕ32) + Iпн (ϕ22 + ϕ32) +

+Iпв (ϕ12 + ϕ32 ) + Iтнϕ12 + Iтвϕ22 + 12Ip1ε12 + 12Ip2ε22.

В этом выражении угловые скорости ωx , ωy , ωz необходимо выразить через обобщённые координаты γ , ψ и υ по формуле (3.1). При подстановке этих зависимостей получают громоздкие выражения, содержащие члены выше второго порядка малости. Поэтому примем следующее допущение: при малых углах γ , ψ и υ можно считать, что ωx ≈ γ , ω y ≈ ψ , ωz ≈ υ .

Можно также принять, что плоскость OXY для ЛА является плоскостью материальной симметрии. Тогда Iyz = 0 и Ixz = 0.

С учётом этих допущений выражения для кинетической энергии можно упростить, тогда оно будет иметь вид

T =	1m(r2				+ r2σ2 + r2χ2) +		1	(m1l12 + m2l22)(γ2 + ψ2 + υ2) +
	2						2
+	1	I		γ2 + I		ψ2 + I υ2	− 2I		γψ +	1	I	ϕ2		+ ϕ2	+ ϕ2		+	(3.38)
	2	1x			1y	1z		1xy		2		об (	1	2		3 )
+Iпн (				2	2	2		2	2			2		1	2	1		2
			ϕ2		+ ϕ3 )	+ Iпв (ϕ1 + ϕ3 ) + Iтнϕ1 + Iтвϕ2							+	2Ip1ε1		+ 2Ip2ε2.

Определение частных производных кинетической энергии по обобщённым скоростям и их производных по времени:

∂T

=

∂T = mr;

d ∂T

= mr ;

(3.39)

∂q

dt ∂q

∂r

1

1

∂T

=

∂T

=

1

mr

2

2σ = mr

2

σ ;

d ∂T

= mr

2

σ ;

(3.40)

∂q2

σ

2

dt ∂q2

∂T

=

∂T

=

1m2r2

2χ

;

d

∂T

= mr2χ ;

(3.41)

∂χ

∂q3

2

dt ∂q3

∂T

=

∂T

= 1

2υ(m1l12

+ m2l22 ) +

12I1zυ = υ(m1l12 + m2l22 + I1z ) ;

(3.42)

∂υ

∂q4

2

2

d

∂T

= υ(m1l12 + m2l22 + I1z );

(3.43)

dt ∂q4

105

∂T

=

∂T

= ψ

(m1l12 + m2l22 + I1y ) − I1xyγ ;

d ∂T

= ψ (m1l12

+ m2l22 + I1y ) − I1xyγ ;

∂ψ

dt ∂ψ

∂q5

= γ (m1l12 + m2l22 + I1x ) − I1xy

(3.44)

∂T

=

∂T

ψ ;

d ∂T

= γ (m1l12 + m2l22 + I1x ) − I1xyψ ;

∂γ

dt ∂γ

∂q6

(3.45)

∂T

=

∂T

= Iобϕ1 + Iпвϕ1 + Iтнϕ1 = ϕ1(Iоб + Iпв + Iтн ) ;

(3.46)

∂q7

∂ϕ1

d ∂T

= ϕ1( Iоб + Iпв + Iтн ) ;

(3.47)

dt ∂q7

∂T

=

∂T

= ϕ2 ( Iоб + Iпн + Iтв ) ;

d ∂T

= ϕ2 (Iоб + Iпн + Iтв ) ;

(3.48)

∂ϕ2

dt ∂ϕ2

∂q8

∂T

=

∂T

= ϕ3 (Iоб

+ Iпн + Iпв ) ;

d ∂T

= ϕ3 ( Iоб + Iпн + Iпв ) ;

(3.49)

∂q

9

∂ϕ

3

dt

∂ϕ

3

∂T

=

∂T

= ε I

Р1

;

d

∂T

= ε I

Р1

;

(3.50)

∂q

∂ε

dt ∂ε

1

1

10

1

1

∂T

=

∂T

= ε2IР2;

d ∂T

= ε2IР2 .

(3.51)

∂q

∂ε

2

dt

∂ε

2

11

Определим частные производные кинетической энергии по обобщённым координатам:

	∂T		∂T	= mr(σ2 + χ2 );	∂T
		=					= 0, i = 2,11.			(3.52)
	∂q		∂r		∂q	i
	1

Выражения (3.39) – (3.52) представляют собой обобщенные силы и моменты, выраженные через линейные и угловые ускорения обобщенных координат, что позволяет записать уравнения движения ударостойкого ЛА в форме уравнений Лагранжа второго рода:

mr − mr(σ2+ χ2 ) = −mgsinσ + cosσ (Pxg cosχ + Pzg sinχ) +

+Pyg sinσ − Crr2 − Nz + (PПxg cosχ + PПzg sinχ)cosσ +

(3.53)

+PПyg sinσ + (PБxg cosχ + PБzg sinχ)cosσ + PБyg sinσ;

mrσ = −mgcosσ + P

cosσ − C

σ

r2σ2 − N

σ

+ P

cosσ + P

cosσ ;

(3.54)

yg

Пyg

Бyg

mrχ = P sinχ − P cosχ − C

χ

r2χ2

− N

χ

+ P

sinχ −

xg

zg

Пxg

(3.55)

−PПzg cosχ + PБxg sinχ − PБzg cosχ;

υ(m1l12 + m2l22 + I1z ) = PПlП ;

(3.56)

106

ψ (m1l12 + m2l22 + I1y ) − I1xyγ = M1 + M2 ;	(3.57)
γ (m1l12 + m2l22 + I1x ) − I1xyψ = PБlБ ;	(3.58)
ϕ1 ( Iоб + Iпв + Iтн ) = Ma ;	(3.59)
ϕ2 (Iоб + Iпн + Iтв ) = Mb ;	(3.60)
ϕ3 (Iоб + Iпн + Iпв ) = Md ;	(3.61)
ε1IР1 = M1;	(3.62)
ε2IР2 = M2.	(3.63)

Полученные выражения (3.53) – (3.63) представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения пространственного движения ЛА. Анализ динамических свойств летательного аппарата аналитическими методами предполагает построение линеаризованной математической модели движения.

3.3 Линеаризованная математическая модель продольного движения

Для решения задачи рационального управления целесообразно рассмотреть не общий случай, а более простой вид движения ЛА. Наиболее наглядный с точки зрения проявления динамических свойств вариант продольного движения (рисунок. 3.6), математическая модель которого построена в декартовой, а не в сферической системе координат.

Рисунок 3.6 – Физическая модель продольного движения ЛА

107

Для получения линеаризованных уравнений математической модели продольного движения используем метод аналитической линеаризации, основанный на разложении нелинейных уравнений в ряд Тейлора. Учитывая, что

V2 = V2 + V2

= x2

+ y2

,

записываем

выражение

кинетической

энергии

x

y

c

c

поступательного движения центра масс системы

Tцм = 1m(xc2 + yc2 ) .

(3.64)

2

Тогда выражение (3.38) примет вид

T=

1m(xc2 + yc2) +

1(m1l12

+ m2l22 + I1z)

υ2 +

1(Iоб + Iпв + Iтн)ϕ12. (3.65)

2

2

2

Запишем соответствующие производные кинетической энергии по

обобщенным координатам и скоростям:

∂T ∂T

0;

∂T

∂T

;

d ∂T

= mxc ;

(3.66)

=

=

=

= mxc

∂q

∂x

c

∂q

∂x

dt

∂q

1

1

c

1

∂T

=

∂T

= 0;

∂T

=

∂T

= myc

;

d

∂T

= myc ;

(3.67)

∂q2

∂yc

∂q2

∂yc

dt ∂q2

∂T

∂T

∂T

∂T

d ∂T

= ∂υ

= 0;

=

∂υ

= Iz1прυ ;

= Iz1прυ ;

(3.68)

∂q

3

∂q

3

dt

∂q

1

∂T

=

∂T

= 0;

∂T

=

∂T

= I

ϕ

;

d ∂T

= I

ϕ ,

(3.69)

∂ϕ

∂ϕ

dt ∂q

∂q

4

∂q

4

z2пр 1

z2пр

1

1

1

1

где I

z1пр

= m l2 + m

l2

+ I

–

приведенный

момент

инерции

относительно

1 1

2

2

1z

оси Z1;

–

приведенный

момент

инерции

относительно

Iz2пр = Iоб + Iпв + Iтн

оси Z2.

Представим проекции абсолютного ускорения центра масс через

воздушную скорость и угол наклона траектории:
xc = Vx =	d		(Vcos(θ)) = cos(θ) V− sin(θ) Vθ;	(3.70)
	dt
yc = Vy =	d		(Vsin(θ)) = sin(θ) V+ cos(θ) Vθ .	(3.71)
	dt
Обобщенные силы на элементарных перемещениях δxc , δyc, δυ и δϕ1
представим в таком виде:
			Q1 = Pxg − Rx − PПxg ;	(3.72)
Q2 = Pyg − Ry − PПyg − mg;				(3.73)
108

Q3 = PПlП cos(σП ) + ( m2l2 − m1l1 )gsin( υ) ;		(3.74)
Q4	= − Masign(ϕ1) ,	(3.75)
где Rx = R cos(θ ) , Ry = R sin(θ )	– проекции силы аэродинамического

сопротивления на оси нормальной системы координат.

Принимая во внимание выражения (3.66) – (3.75) с учетом (3.3), (3.8), (3.12), (3.14), записываем дифференциальные уравнения продольного движения

	m(cos(θ) V − sin(θ) Vθ) = Psin( υ) − Rcos(θ) − PП cos(σП )cos(υ) ;				(3.76)
	m(sin(θ) V+ cos(θ) Vθ) = Pcos(ν) − Rsin(θ) + PП cos(σП )sin(υ) − mg; (3.77)
	Iz1прωz = PПlП cos( σ П ) + ( m2l2 − m1l1 ) gsin( υ ) ;				(3.78)
		Iz2прϕ1 = Masign(ϕ1).			(3.79)
	Дополним уравнения динамики кинематическими соотношениями
	υ = ωz ; υ = θ + α ; H = Vsin(θ ) ,				(3.80)
	где H – вертикальная скорость, а также выражением для вертикальной
	перегрузки	Pcos(ν) − Rsin(θ) + PП cos(	σП )sin(υ)
	ny =			.	(3.81)
		mg
	Коэффициент аэродинамической силы сопротивления представим наиболее
	существенной зависимостью
		CR = CR (α, V) .			(3.82)
	Суммарная сила тяги винтов − это функция угловой скорости вращения
	роторов:	P = P(ε) = P(ωp ).
					(3.83)
	Сила руля продольного управления с учетом (3.82)
		PП = PП (ωp,σП ).			(3.84)

Для получения линеаризованных уравнений математической модели продольного движения используем метод аналитической линеаризации, основанный на разложении нелинейных уравнений (3.76) – (3.84) в ряд Тейлора без учета (3.79). В качестве начальных условий примем параметры устойчивого и невозмущенного полета по криволинейной траектории:

V0;θ0 = 0;θ0;υ0;α0;ϕ10;σП0;P0; PП0;R0;Ma0 = 0;ωp0;ωz0 = 0; H0 = 0. (3.85)

Разложим уравнения (3.76) в ряд Тейлора:

F1 = m(cos(θ) V− sin(θ) Vθ) − Psin(υ) + Rcos(θ) + PП cos(σП )cos(υ) ; 109