vostrikov
.pdf
7.5. Синтез линейных импульсных систем |
251 |
Теорема Келли–Гамильтона. Матрица А удовлетворяет собственному характеристическому уравнению
An an 1An 1 ... a1A a0I [0] .
Если все собственные числа равны нулю, то характеристическое уравнение системы принимает вид
zn 0.
На основании теоремы Келли–Гамильтона можно записать:
An 0,
из чего следует в соответствии с выражением (7.38) x(n) An x0 [0] .
Очевидно, что все последующие значения вектора состояния также будут равны нулю.
7.5. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
7.5.1. ЗАДАЧА СИНТЕЗА
Объект управления, для которого будем рассматривать синтез цифрового регулятора, описывается системой разностных уравнений
x(k 1) Ax(k) Bu(k),
y(k) Cx(k) M (k),
где M(k) – возмущение, приложенное к выходу объекта, что при синтезе является наиболее неблагоприятным случаем.
После окончания переходного процесса выход объекта должен повторять входное задающее воздействие
lim y(k) v . |
(7.40) |
k
252 |
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ |
В некоторых системах допускается воспроизводить входное задающее воздействие с ошибкой, но величина ошибки должна быть не
больше заданной 0 :
(k ) |
v y(k ) |
|
|
lim |
(k ) |
0 . |
(7.41) |
|
|
||
k
Кроме требований статики (7.40), (7.41), предъявляются требования и к динамике системы. Время переходного процесса должно быть не более заданного:
tпп tз .
Вид (качество) переходного процесса должен соответствовать предписанному, при этом часто задается величина перерегулирования
(рис. 7.29):
ymax yуст з . yуст
Рис. 7.29. Примерный вид переходного процесса в синтезируемой системе
По заданным требованиям к системе необходимо определить структуру и параметры регулятора.
До начала процедуры синтеза следует проверить управляемость и наблюдаемость объекта. Эти понятия мы уже ввели для непрерывных систем (см. главу 5) и здесь будем использовать те же обозначения. Убедимся, однако, что доказывать критерии для импульсных систем много проще.
7.5. Синтез линейных импульсных систем |
253 |
7.5.2. УПРАВЛЯЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ ОБЪЕКТОВ
Рассмотрим условие управляемости для объекта вида
x(k 1) Ax(k) Bu(k),
(7.42)
y(k) Cx(k).
x n
x(0)
x1
x(n)
Рис. 7.30. Движение изображающей точки в пространстве состояний
Определение: объект (7.42) управляем, если существует ограниченное управляющее воздействие, которое на конечном интервале времени переводит объект из заданного начального состояния x(0) в заданное конечное состояние x(n) (рис. 7.30), т.е. существует последовательность
u(0), u(1),..., u(n 1) .
Рассмотрим вначале задачу анализа управляемости одноканального объекта:
A Rn n , B Rn 1 .
Сформируем матрицу, которую называют матрицей управляемости
U B, AB,..., An 1B . |
(7.43) |
Для одноканального объекта матрица управляемости является квадратной:
U Rn n .
254 |
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ |
Критерий управляемости одноканального объекта. Однока-
нальный объект (7.42) называется управляемым, если матрица U невырожденная:
det{U} 0.
Доказательство. В соответствии с разностным уравнением объекта (7.42) можно записать:
x(1) Ax(0) Bu(0),
...
x(n) An x(0) An 1Bu(0) ... Bu(n 1).
Возьмем последнее уравнение из этой цепочки и преобразуем его:
|
u(n |
1) |
|
x(n) An x(0) B, AB,..., An 1B |
... |
. |
|
u(1) |
|||
|
|
||
|
u(0) |
|
Как видим, последовательность управляющих воздействий, переводящих одноканальный объект из заданного начального состояния в заданное конечное, можно найти следующим образом:
u(n 1) |
|
|
|
|
|
... |
U |
1 |
x(n) An x(0) |
, |
|
u(1) |
|||||
|
|
|
|
||
u(0) |
|
|
|
|
откуда и следует требование невырожденности матрицы U. Рассмотрим теперь критерий управляемости для многоканального
объекта. Размерность матриц объекта и управления:
A Rn n , B Rn m , u Rm .
Вид матрицы управляемости для многоканального объекта тот же, что и для одноканального (7.43), но ее размерность иная:
U Rn (n m) .
7.5. Синтез линейных импульсных систем |
255 |
Критерий управляемости многоканального объекта. Многока-
нальный объект (7.42) называется управляемым, если матрица управляемости имеет полный ранг:
rank{U} n.
Из линейной алгебры известно, что матрица U имеет полный ранг, если из нее можно выбрать n линейно независимых столбцов. Это, в свою очередь, означает, что многоканальный объект из заданного начального состояния в заданное конечное состояние можно перевести не более чем за n шагов.
Определить, имеет ли матрица полный ранг, можно по соотношению
det{UUT } 0.
Управляемость объекта является условием разрешимости задачи синтеза.
ПРИМЕР 7.10
Проверить свойство управляемости объекта, заданного системой разно-
стных уравнений: |
|
x1(k 1) |
0,3x1(k) 0, 2x2 (k) 0, 4u(k), |
x2 (k 1) |
0 x1(k) 0,1x2 (k) 0,5u(k). |
Вычислить управление, которое переводит объект из начального состояния x1(0) 0 , x2 (0) 1 в конечное состояние x1(T ) 1 , x2 (T ) 1 , и
построить траекторию движения изображающей точки на фазовой плоскости.
По заданным уравнениям объекта запишем его матрицы A, B:
A |
0,3 |
0, 2 |
; |
B |
0, 4 |
; AB |
0,3 |
0, 2 |
0, 4 |
0, 02 . |
|
|
0 |
0,1 |
|
|
0, 5 |
|
0 |
|
0,1 |
0,5 |
0, 05 |
Используя матрицы объекта, найдем матрицу управляемости U и вычислим |
|||||||||||
ее детерминант: U |
B |
AB |
|
0, 4 |
0, 02 |
; |
detU |
0, 01 . |
|
||
|
|
|
|
|
|
0,5 |
0, 05 |
|
|
|
|
Поскольку detU |
0 , объект управляем. |
|
|
|
|
||||||
Найдем последовательность управляющих воздействий, переводящих объект из заданного начального состояния в заданное конечное:
256 |
|
|
|
|
|
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ |
||||||||||||
U 1 |
5 |
2 |
; U |
1(x(2) |
A2 x(0)) |
|
|
u(1) |
; |
A2 |
0, 09 |
0, 08 |
; |
|||||
|
50 |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
u(0) |
|
|
0 |
0, 01 |
|
||
|
u(1) |
|
5 |
2 |
|
1 |
|
0, 09 |
|
|
0, 08 |
|
0 |
2,58 . |
|
|||
|
u(0) |
|
50 |
40 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
0, 01 |
|
1 |
5, 6 |
|
|
|
Теперь найдем траекторию движения объекта |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x1(1) |
0,3 |
0 |
0, 2( |
1) |
|
0, 4 |
5, 6 |
2, 04, |
|
|
|||||
|
|
|
x2 (1) |
0,1( |
|
1) |
0,5 |
5, 6 |
2,9; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x1(2) |
0, 3 |
|
2, 04 |
0, 2 |
2, 9 |
0, 4 |
2, 58 |
1, |
|
|
|||||
|
|
|
x2 (2) |
0,1 2, 9 |
0, 5 |
2, 58 |
1. |
|
|
|
|
|
||||||
Как видим, на втором шаге объект приходит в заданное конечное состояние.
7.5.3. НАБЛЮДАЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
Будем анализировать наблюдаемость линейного дискретного объекта, математическая модель которого представлена системой разностных уравнений (7.42)
Пусть известны последовательность измеренных значений выхода y(k) и последовательность управляющих воздействий u(k):
y(0), y(1),..., y(n 1) , u(0), u(1),..., u(n 1)
по этим данным необходимо найти вектор состояния x(k). Определение. Объект наблюдаем, если по процессу y(k) при из-
вестной последовательности управляющих воздействий u(k) можно вычислить процесс x(k).
Рассмотрим процедуру анализа управляемости для одноканального объекта, размерность матриц которого
A Rn n , С R1 n .
7.5. Синтез линейных импульсных систем |
257 |
Матрица наблюдаемости для одноканального объекта квадратная и имеет вид
|
C |
|
|
|
N |
CA |
Rn n . |
(7.44) |
|
... |
||||
|
|
|
CAn 1
Критерий наблюдаемости одноканального объекта. Однока-
нальный объект (7.42) называется наблюдаемым, если матрица N невырожденная:
det N 0.
Доказательство. Воспользуемся уравнением выхода объекта (7.42) и сформируем систему уравнений:
y(0) Cx(0),
y(1) Cx(1) C( Ax(0) Bu(0),
(7.45)
...
y(n 1) CAn 1x(0) CAn 2 Bu(0) ... CBu(n 2).
Здесь неизвестным является x(0), значения управления u(k) известны, значения выходной величины y(k) измеряемы. Запишем систему уравнений (7.45) в матричной форме:
y(0) |
C |
|
0 |
|
|
y(1) |
CA |
x(0) |
CBu(0) |
. |
|
... |
... |
... |
|||
|
|
||||
y(n 1) |
CAn 1 |
|
CAn 2 Bu(0) ... CBu(n 2) |
|
Из последней системы уравнений выразим x(0):
|
y(0) |
|
|
0 |
|
x(0) N |
1 y(1) |
N |
1 |
CBu(0) |
. |
... |
|
... |
|||
|
|
|
|
||
|
y(n |
1) |
|
CAn 2 Bu(0) ... CBu(n 2) |
|
258 |
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ |
Как видим, решение для x(0) существует в том случае, если матрица N невырожденная. Для оценки вектора состояния x(0) придется набирать информацию о выходе объекта на (n–1)-м шаге от y(0) до y(n–1) и сохранить значения управления от u(0) до u(n–2). Таким образом, данная процедура дает возможность оценивать вектор состояния объекта с запаздыванием Tз, величина которого составляет
Tз T (n 1) ,
где T – шаг квантования; n – порядок объекта.
Рассмотрим критерий наблюдаемости для многоканального объекта. Размерность матриц объекта:
A Rn n , C Rm n .
Вид матрицы наблюдаемости такой же, как для одноканального объекта (7.44), но ее мерность иная:
N R(n m) n .
Критерий наблюдаемости многоканального объекта. Многока-
нальный объект наблюдаем, если матрица N имеет полный ранг:
rank N = n.
Чтобы набрать n линейно независимых уравнений для оценки вектора состояния x(0), нужно перебирать строки в матрице N, выбирая линейно независимые. Если это удастся, то ранг матрицы полный и объект наблюдаем.
Определить, имеет ли матрица полный ранг, можно также по соотношению
det{NT N} 0.
Оценивать наблюдаемость и управляемость объекта необходимо до начала процедуры синтеза для того, чтобы убедиться в адекватности модели рассматриваемому объекту.
7.5. Синтез линейных импульсных систем |
259 |
ПРИМЕР 7.11
Проверить свойство наблюдаемости объекта, математическая модель которого задана передаточной функцией
W (z) |
0, 2z |
0,1 |
. |
|
|
|
|||
z2 z |
0, 25 |
|||
|
|
По передаточной функции объекта запишем его разностное уравнение в матричной форме:
x1(k |
1) |
0, 25x2 (k) 0,1u(k), |
x2 (k 1) |
x1(k) x2 (k) 0, 2u(k), |
|
y(k) |
x2 (k). |
|
Матрицы A, C объекта имеют следующий вид:
A |
0 |
0, 25 |
; C 0 1 . |
|
1 |
1 |
|
Найдем матрицу наблюдаемости и ее детерминант:
N |
C |
; N |
0 |
1 |
; det N 1 0 . |
CA |
1 |
1 |
Поскольку детерминант матрицы наблюдаемости отличен от нуля, объект наблюдаем.
7.5.4. МОДАЛЬНЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА. ПРОЦЕДУРА СИНТЕЗА ПО ВЫХОДУ
Рассмотрим процедуру синтеза для объекта, представленного на рис. 7.31. Математическая модель объекта управления задана в виде передаточной функции
W (z) |
B(z) |
, |
(7.46) |
|
A(z) |
||||
|
|
|
M – возмущение, приложенное к выходу объекта (самый неблагоприятный случай).
