vostrikov

7.6. Наблюдатели состояния

281

ПРИМЕР 7.17

Синтезируется наблюдатель для объекта второго порядка. Запишем матрицы модели одноканального объекта второго порядка:

A	0	1	;	B	0	;	C b b		;	L	l0 .
	a0	a1			1		0	1			l1
Характеристическое уравнение наблюдателя имеет вид
	det	z 0		0		1	l0b0	l0b1		0 .
		0 z		a0		a1	l1b0	l1b1

Потребуем, чтобы в наблюдателе были процессы минимальной дли-

тельности, тогда
det	z	l0b0	1	l0b1	z2 .
	a0	l1b0	z a1	l1b1

Уравнения для вычисления параметров наблюдателя получим следующие:

l0b0 l1b1 a1 0,

l0b0l1b1 l0b1a0 a0 l1b0 0.

7.6.3. МАТРИЧНАЯ ПРОЦЕДУРА СИНТЕЗА НАБЛЮДАТЕЛЕЙ ДЛЯ ОДНОКАНАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ

Модель одноканального объекта выглядит так же, как многоканального (7.71). Отличие от предыдущей процедуры только в мерностях векторов и матриц:

x Rn , y, u R1, A Rn n , B Rn 1, C R1 n , L Rn 1 .

Полагаем, что коэффициенты матриц А, В, С порождены передаточной функцией одноканального объекта:

	b		zn 1 ...		b
W (z)	n 1				0	.
	zn	a		zn 1	... a
		n 1			0

282							Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
Процедура синтеза значительно облегчается, если модель объекта
представлять в «транспонированной» форме (см. подразд. 7.2.12):
0	0 ...	0	a0				b0					l0
1	0 ...	0	a1				b1					l1
A 0	1 ...	0	a2	;	B		b2	; C	0 0	0 ...	1 ; L	l2 .
... ... ... ...			...				...					...
0	0 ...	1	an 1				bn 1					ln 1
Запишем матрицу правой части разностного уравнения наблюдате-
ля аналогично (7.74):
		0	0	...	0		a0	0	0 ...	0	l0
		1	0	...	0		a1	0	0 ...	0	l1
	A LC	0	1	...	0		a2	0	0 ...	0	l2
		... ... ... ...					...	... ... ... ... ...
		0	0	...	1		an 1	0	0 ...	0	ln 1
			0	0		...	0	a0	l0
			1	0		...	0	a1	l1
			0	1		...	0	a2	l2 .			(7.76)
			... ... ... ...					...
			0	0		...	1	an 1	ln-1

В характеристическое уравнение наблюдателя (7.75) войдут только коэффициенты из последнего столбца матрицы (7.76), следовательно, система уравнений для нахождения коэффициентов матрицы-коррек- тора L выглядит так:

ai li ci	li ci ai , i 0; (n 1) ,

где сi – коэффициенты желаемого характеристического полинома C(z).

ПРИМЕР 7.18

Синтезируется наблюдатель для объекта третьего порядка. Рассмотрим процедуру синтеза на примере одноканального объекта третьего порядка. Модель объекта представим в «транспонированной» форме:

7.6. Наблюдатели состояния									283
		0	a0		b0				l0
	0
	A 1 0		a1 ;	B b1 ; C 0 0 1 ; L					l1 .
	0	1	a2		b2				l2
	Матрица правой части разностного уравнения наблюдателя
			0 0	a0	0 0 l0			0 0 ( a0	l0 )
	( A LC)		1 0	a1	0 0 l1			1 0 ( a1	l1) .
			0 1	a2	0 0 l2			0 1 ( a2	l2 )
	Параметры матрицы-корректора L вычисляются в выбранном базисе очень
	просто:
			a	l	c	l0	c0	a0
			0	0	0
			a1	l1	c1	l1	c1	a1
			a2	l2	c2	l	c	a .
						2	2	2

7.6.4. НАБЛЮДАТЕЛИ ПОНИЖЕННОГО ПОРЯДКА

Идея синтеза наблюдателя пониженного порядка состоит в использовании тех координат состояния, которые доступны измерению. Для оценки оставшейся части переменных можно построить наблюдатель, порядок которого ниже порядка объекта.

Пусть математическая модель объекта, для которого необходимо построить наблюдатель, задана в стандартной форме

x(k 1) Ax(k) Bu(k),

y(k) Cx(k).

Размерности векторов, входящих в систему уравнений, следующие:

x Rn ,

(u, y) Rm .

Разделим теперь вектор состояния объекта на две компоненты:

xн Rn m и xи Rm x [xн , xи ]T ,

284 Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ

где xн – наблюдаемая часть вектора состояния; xи – измеряемая часть

вектора состояния.

Перейдем к новому вектору состояния, в котором в качестве измеряемой компоненты используется вектор выхода y:

x	xн , x Px .		(7.77)
1	y	1

Преобразуем исходную модель объекта, используя разделение вектора состояния на две компоненты:

xн (k 1)		A11	A12	xн	B1	u(k),
xи (k 1)		A21	A22	xи	B2	(7.78)
		xн .
y C C	2
1		xи

Найдем матрицу связи между исходным и новым вектором состояния. Воспользуемся для этого выражением (7.77), предварительно разделив матрицу P на клетки:

x	P	P	x	x	P x	P x ,
н	11	12	н	н	11 н	12 и
y	P21	P22	xи	y P21xн		P22 xи .

Легко показать, воспользовавшись уравнением выхода из системы уравнений (7.78), что клетки матрицы P принимают значения:

P	I R(n m) (n m) ; P		0 R(n m) m ;
11		12
P	C Rm (n m) ;	P C Rm m ,
21	1	22	2

следовательно, матрица P имеет вид

	P	I	0	.
		C1	C2

7.6. Наблюдатели состояния

285

Запишем уравнения объекта в новом базисе:

	xн (k 1)					xн (k)
		A11		A12			B1			u(k),
	y(k 1)					y(k)
		A21		A22			B2
										(7.79)

y(k) C xн (k) . y(k)

Матрицы объекта в новом базисе вычисляются по обычной процедуре:

A PAP 1 , B PB , C CP 1 .

Выведем теперь уравнения наблюдателя и для этого преобразуем уравнения объекта (7.79):

xн (k 1)	A11xн (k)				A12 y(k) B1u(k),						(7.80)
y(k 1)	A21xн (k)				A22 y(k) B2u(k).

Уравнение наблюдателя сформируем из первого уравнения системы

(7.80):

xн (k 1) A11xн (k) A12 y(k) B1u(k) L (k) ,							(7.81)

где L – матрица-корректор наблюдателя, а (k) – невязка, которую сформируем, используя второе уравнение системы (7.80):

(k) y(k 1) A21xн A22 y(k) B2U (k) .							(7.82)

Подставим уравнение (7.82) в уравнение (7.81):

xн (k 1) A11xн (k) A12 y(k) B1u(k) (7.83)

L y(k 1) A21xн (k) A22 y(k) B2u(k ) .

Соотношение (7.83) и есть математическая модель наблюдателя пониженного порядка, а xн (k) – оценка наблюдаемой части вектора со-

стояния, полученная с помощью этого наблюдателя.

На рис. 7.38 показана структурная схема наблюдателя пониженного порядка, построенная в соответствии с его математической моделью

(7.83).

286	Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
B2		y(k 1)
	L
	A 21	A
		A 22
		y(k)
	A12
u(k)		xн (k)
B 1	zZ-1

AA11

Рис. 7.38. Структурная схема наблюдателя пониженного порядка

В схеме, приведенной на рис. 7.38, присутствует прогноз вектора выхода объекта y(k + 1), поэтому необходимо модифицировать исходную структурную схему наблюдателя, используя известные структурные преобразования. Результат этих преобразований приведен на рис. 7.39.

B2
L	( )	A
		A 22
	A
	A 21
		y(k)
	A
	A 12
		L
u(k)		xн (k)
B1	z 1
	A
	A 11

Рис. 7.39. Реализуемая структурная схема наблюдателя пониженного порядка

7.6. Наблюдатели состояния

287

Для расчета коэффициентов матрицы-корректора наблюдателя L преобразуем его математическую модель. Введем новую переменную:

e(k) xн (k) xн (k) e(k 1) xн (k 1) xн (k 1)

Разностное уравнение для новой переменной запишем, воспользовавшись уравнениями объекта (7.80) и наблюдателя (7.83):

e(k

1) (A11

LA21)e(k) ,

(7.84)

R(n m) (n m) ,

Rm (n m) ,

L R(n m)

m . Разностное уравне-

где A

A

11

21

ние (7.84) дает возможность записать характеристическое уравнение наблюдателя пониженного порядка, а оно, в свою очередь, найти параметры матрицы-корректора наблюдателя L. По известной процедуре модального метода синтеза, в соответствии с требованиями к динамическим свойствам наблюдателя, задаются корни его характеристического уравнения, из которых формируется желаемый характеристический полином. Приравнивая характеристический полином наблюдателя и желаемый характеристический полином, получаем расчетное соотношение для нахождения параметров матрицы-корректора L:

det zI A11 LA21 C(z) .					(7.85)

Как и для обычного матричного наблюдателя, число уравнений, порождаемых основным расчетным соотношением (7.85), меньше, чем количество искомых коэффициентов матрицы-корректора, поэтому часть коэффициентов можно задать произвольно, нередко их задают нулевыми, но (n – m) штук коэффициентов матрицы L должны остаться свободными.

ПРИМЕР 7.19

Рассчитать наблюдатель пониженного порядка для объекта, математическая модель которого задана следующей системой разностных уравнений:

x1(k 1) 0,1x1(k) 0, 4x2 (k) 0,5u(k),

x2 (k	1) 0,3x1(k) 0, 2x2 (k) 0, 6u(k),
y(k)	x1(k) 0,5x2 (k).

Желаемая динамика наблюдателя задана корнем z 0, 01 .

288		Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
Решение:
Запишем матрицы объекта:
A	0,1	0, 4 ;	B	0,5 ;	C	1, 0 0,5 .
	0,3	0, 2		0, 6
Проверим наблюдаемость объекта:
C	1, 0	0,5				– объект наблюдаем.
det CA	det 0, 05	0,5		0,525	0
Новый вектор состояния сформируем следующим образом: xн x1,
xи y , тогда матрица связи между исходным и новым вектором состояния
		I	0	1	0
	P	C1	C2	1	0,5 .

Найдем матрицы объекта в новом базисе:

		PAP 1 0, 7	0,8				0,5	;		CP 1	0 1 .
	A			; B PB					C
1, 05			1, 0				0,8

В соответствии с выражением (7.83) определим значение параметра корректора наблюдателя: z 0,7 l 1,05 z 0,01 l 0,6571 .

Запишем уравнение наблюдателя в соответствии с выражением (7.83), используя найденные матрицы объекта в новом базисе:

x1(k 1)		0, 7x1(k) 0,8y(k)					0,5u(k)
	l( y(k	1) 1, 05x1(k) y(k)					0,8u(k)).

В последнее выражение подставим значение параметра корректора l и приведем подобные:

x1(k 1) 0, 01x1(k) 0,1429 y(k) 0, 0257u(k) 0, 6571y(k 1) .

Введем новую переменную
(k) x1(k) 0, 6571y(k)	x1(k) (k) 0, 6571y(k)
(k 1) x1(k	1) 0, 6571y(k 1)

и преобразуем уравнение наблюдателя

(k 1)	0, 01e(k) 0,1369 y(k) 0, 0257u(k),
x1(k)	(k) 0, 6571y(k).

Последняя система уравнений позволяет реализовать наблюдатель пониженного порядка для заданного объекта управления.

7.6. Наблюдатели состояния

289

7.6.5.ОСОБЕННОСТИ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ СИСТЕМ

СНАБЛЮДАТЕЛЯМИ

При применении наблюдателя для получения оценки вектора состояния, которая в последующем используется в обратной связи, необходимо учитывать тот факт, что наблюдатель представляет собой динамическую подсистему, свойства которой влияют на динамику системы в целом. Оценим это влияние. Для этого запишем полную систему уравнений, описывающую объект управления с регулятором и наблюдателем, используя соотношения (7.57) и (7.72):

x(k 1)		Ax(k)	Bu(k),
y(k)	Cx(k),
u(k)	Kxн (k),		(7.86)
xн (k 1)		Aн xн (k) Bнu(k) L( y yн ),
yн (k)	Cн xн (k).

Введем новую переменную:

(k) x(k) xн (k) xн (k) x(k) (k) (k 1) x(k 1) xн (k 1) .

Перепишем исходную систему уравнений (7.86), используя новую переменную, а также примерное равенство матриц объекта и наблюдателя:

x(k 1) Ax(k) BKx(k) BK (k), (k 1) A (k) LC (k).

Запишем это выражение в матричном виде:

x(k 1)	A BK	BK	x(k)
(k 1)	0	A LC	(k) .

Матрица правой части разностного уравнения получилась треугольная. Характеристическое уравнение системы с наблюдателем имеет вид

	det zI	A BK	BK	0 .
		0	A LC

290 Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ

Для треугольной квадратной матрицы имеет место следующее свойство:

det(zI A BK ) det(zI A LC) 0 ,

т. е. собственные числа этой матрицы представляют собой две группы, первая из которых – это группа желаемых корней синтезируемой системы, вторая – группа желаемых корней наблюдателя, используемого для оценки вектора состояния объекта.

Динамика полной системы с регулятором и наблюдателем описывается двумя независимыми наборами корней:

• желаемые корни системы реализуются с помощью матрицы K;

• желаемый набор корней наблюдателя состояния реализуется с помощью матрицы обратных связей L.

Оба набора корней можно формировать независимо друг от друга. Отметим, что наблюдатель – неуправляемая подсистема.

7.7. РЕАЛИЗАЦИЯ ТИПОВЫХ ПИД-РЕГУЛЯТОРОВ

7.7.1. НЕПРЕРЫВНЫЙ АНАЛОГ

В инженерной практике систем с обратной связью широкое распространение получили так называемые ПИД-регуляторы (пропорциональный – интегрирующий – дифференцирующий) (рис. 7.40).

v	e(t)	u(t)	y(t)
		ПИД	ОУ

Рис. 7.40. Функциональная схема системы с ПИД-регулятором

Непрерывная реализация ПИД-регулятора (7.41) описывается уравнением

	1	t	de(t)		(7.87)
u(t) K e(t)		e(t)dt T		.
		д
	Tи 0		dt