vostrikov

7.5. Синтез линейных импульсных систем

271

0

1

0

...

0

0

0

1

...

0

A

BK

A*

...

...

...

...

...

.

0

0

0

...

1

a0

k0

a1

k1

a2

k2 ...

an 1

kn 1

В характеристическое уравнение синтезированной системы войдут

только коэффициенты из последней строки этой матрицы, следова-

тельно, система уравнений для нахождения коэффициентов матрицы K

выглядит так:

ai

ki

ci

ki

ci

ai , i 0; (n 1) ,

где ci

– коэффициенты желаемого характеристического полинома,

аналогичного (7.55).

7.5.7. ПОСТРОЕНИЕ ОДНОКАНАЛЬНЫХ

АСТАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Здесь мы воспользуемся свойством астатизма замкнутых систем, в

прямом канале которых имеется интегратор (в данном случае цифро-

вой), для того чтобы обеспечить желаемую статику при действии на

объект возмущающих воздействий. Схема такой системы приведена на

рис. 7.35, где x

Rn , u, y

R1, K

R1 n , kи

R1.

v

z 1

x4

kи

u

B

z 1

x

y

C

Объект

A

K

Рис. 7.35.

Структурная схема астатической системы,

построенной

в соответствии с процедурой модального метода синтеза по состоянию

272	Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ

Матричная модель одноканального объекта – стандартная:

x(k 1) Ax(k) Bu(k),

(7.62)

y(k) Cx(k).

Рассмотрим процедуру синтеза на примере объекта третьего порядка, представленного в «прямой» форме:

	0	1	0		0
A	0	0	1	;	B 0	;	C b0 b1 b2 .
	a0	a1	a2		1

Расширим модель объекта, добавив разностное уравнение интегратора в (7.62):

x(k 1) Ax(k) Bu(k),

x4 (k	1) v(k) y(k) x4 ,
u(k)	kи x4 (k) Kx(k),
y(k)	Cx(k).

Для рассматриваемой замкнутой системы с объектом третьего порядка расширенная система уравнений принимает вид

x1(k	1)	x2 (k),
x2 (k	1)	x3 (k),
x3 (k 1) ( a0 k0 )x1(k) ( a1			k1)x2	(k)
( a2	k2 )x3 (k) kи x4 (k),			(7.63)
x4 (k 1)		v b0 x1(k ) b1x2 (k ) b2 x3 (k ) x4 (k ),
y(k) b0 x1(k) b1x2 (k) b2 x3 (k).

Запишем матрицу правой части расширенной системы (7.63):

				0	1	0	0
				0	0	1	0	.
	A
			a0	k0	a1 k1	a2 k2	kи
				b0	b1	b2	1

7.5. Синтез линейных импульсных систем

273

Основное расчетное соотношение получаем традиционным образом, приравнивая характеристический полином замкнутой системы и желаемый характеристический полином:

			n 1
det zI A			C(z), C(z)	(z zi ) .	(7.64)
			i	1

Систему уравнений для нахождения искомых параметров регулятора получаем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z в правой и левой частях основного расчетного соотношения (7.64):

1	0	0	0 k2		c3	1 a2
1	1	0	b2	k1	c2	a2	a1 .	(7.65)
0	1 1		b1	k0	c1	a1	a0
0	0	1 b0		kи	c0	a0	0

На примере системы третьего порядка видно, что система уравнений для поиска параметров регулятора (7.65) хорошо структурирована. Аналогичную систему уравнений легко получить для объекта второго порядка, а далее, используя метод математической индукции, можно записать систему уравнений, позволяющую рассчитать параметры регулятора для объекта произвольного порядка.

Важно отметить, что для реализации процедуры модального метода синтеза по состоянию необходимо иметь полную информацию о векторе состояния либо найти его оценку.

Выводы. В этом подразделе мы рассмотрели два способа синтеза цифровых систем управления, каждый из которых имеет свою область применения. Процедура модального метода синтеза по выходу предполагает представление модели объекта в операторной форме, и при этом к модели объекта, кроме общих требований управляемости и наблюдаемости, предъявляется требование устойчивости обратной модели.

При использовании процедуры модального метода синтеза по состоянию модель объекта задается в виде матричного разностного уравнения и не требуется устойчивость обратной модели объекта. В то же время данная процедура предполагает, что в алгоритме управления используется полный вектор состояния объекта, который должен быть измерим, а это встречается в реальных условиях крайне редко, либо в

274	Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ

алгоритме управления используется оценка вектора состояния, полученная с помощью специальных динамических подсистем, называемых фильтрами оценки состояния или наблюдателями состояния.

7.6. НАБЛЮДАТЕЛИ СОСТОЯНИЯ

При синтезе регуляторов и при решении других задач управления появляется необходимость в оценке полного вектора состояния объекта в реальном времени. Для решения этой задачи используются различные алгоритмы, которые реализуются в виде динамических подсистем, позволяющих эти оценки получить. Предполагается, что объект управления является наблюдаемым. Рассмотрим здесь основные способы оценивания состояния объектов управления.

7.6.1. ОПЕРАТОРНАЯ ПРОЦЕДУРА СИНТЕЗА НАБЛЮДАТЕЛЕЙ

Используем математическую модель объекта управления в виде передаточной функции, т.е. в операторной форме, поэтому процедура синтеза наблюдателей называется «операторной».

Рассмотрим структуру наблюдателя Люинбергера [46] (рис. 7.36). Идея наблюдателя заключается в том, что параллельно объекту управ-

	ления W(z)	включается динамическая подсистема,			в состав которой
	u	y	входит модель объекта управления
			(передаточные функции WM(z) и
		W (z)
			W(z) совпадают). Кроме этого,
			включен	стабилизирующий кор-
			ректор L(z), который позволяет
			процессы	в наблюдателе сделать
			устойчивыми, даже если объект
			управления неустойчив. Этот кор-
			ректор позволяет обеспечить тре-
		x1 x2... xn	буемое качество сходимости к ну-
			лю разницы		между выходом
	Рис. 7.36. Структурная схема наблю-		объекта y и выходом модели yМ:
	дателя Люинбергера		= y – yМ.

7.6. Наблюдатели состояния

275

Рассмотрим свойства наблюдателя. Запишем операторное выражение для ошибки в соответствии со структурной схемой (рис. 7.36):

(z) W (z)u(z) WМ (z) u(z) L(z) (z) .

(7.66)

Поскольку передаточные функции W(z) и WM(z) совпадают:

B(z) W (z) WM (z) A(z) ,

выражение (7.66) после преобразования принимает вид

A(z) B(z)L(z) (z) 0 .

Это однородное разностное уравнение; в случае устойчивости его решений положение равновесия по будет равно нулю, т. е. начиная с некоторого момента времени выход модели yМ будет как угодно точно повторять выход объекта y, при этом можно предположить, что вектор

состояния модели X		x1, x2 ,..., xn с той же точностью повторяет
вектор состояния объекта X			x1, x2 ,..., xn .
Характеристическое уравнение наблюдателя:
		A(z)	L(z)B(z) 0 .	(7.67)

Корни такого уравнения должны соответствовать требуемому качеству процессов по ошибке . С помощью корректора L(z) заданные корни можно реализовать. Рассмотрим это на примерах.

ПРИМЕР 7.13

Синтезируется наблюдатель для объекта первого порядка с передаточной функцией

W (z)	b0
		.
	z a0

Характеристическое уравнение наблюдателя в соответствии с (7.67) для этого объекта

z a0 L(z)b0 0 .

276 Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ

Корректор для этого случая выберем в виде L(z) l0 , тогда характеристическое уравнение наблюдателя примет вид

z a0 l0b0 0 .

Поскольку характеристическое уравнение имеет первый порядок, необходимо задать один желаемый корень наблюдателя z1 и сформировать желаемый характеристический полином C(z). В результате получаем искомый параметр корректора l0

C(z) z z1 a0 l0b0 z1 l0 z1 a0 / b0 .

Потребуем, чтобы процессы в контуре имели минимальную длительность, тогда

c(z) z a0 l0b0 0 l0 a0 / b0 .

ПРИМЕР 7.14

Наблюдатель для объекта второго порядка. Полиномы передаточной функции объекта второго порядка имеют вид

A(z)	z2	a z	a ,
		1	0
B(z)	b1z	b0.

Корректор L(z) выбираем пока нереализуемый (без полинома знаменателя):

L(z) l1z l0 .

Характеристическое уравнение корректора для этого случая в соответствии с (7.67)

z2 a1z a0 (l1z l0 )(b1z b0 ) 0 .

Приведем это характеристическое уравнение к расчетному виду и приравняем его к желаемому характеристическому полиному, сформированному с помощью двух желаемых корней:

z2 a1 b0l1 b1l0 z			a0	b0l0 z2 c z c .
	1 b1l1				1	0
			1	b1l1

Система уравнений для вычисления параметров корректора l0 и l1 получается следующая:

a1	b0l1		b1l0		c1	,
	1 b1l1
						(7.68)
a0	b0l0
			c0 .
1	b1l1

7.6. Наблюдатели состояния

277

Потребуем, чтобы процессы в наблюдателе имели минимальную длительность, тогда система (7.68) упростится

a1 b1l0 b0l1 0, a0 b0l0 0,

и в результате получим искомые параметры корректора

l	a0	,	l	a0b1 a1b0	.
0	b0		1	b2
				0

ПРИМЕР 7.15

Синтезируется наблюдатель для объекта второго порядка с реализуемым корректором. Выбираем корректор в виде передаточной функции, у которой порядок полинома числителя равен порядку полинома знаменателя:

L(z)	l1z l0		.
	z	0

Как известно, такая передаточная функция является реализуемой, в отличие от предыдущего примера.

Запишем характеристическое уравнение наблюдателя (7.67), приравняем его желаемому характеристическому полиному, тогда расчетное соотношение для нахождения параметров корректора принимает вид

(z2 a z a )(z		0	) (b z b )(l z l )				z3 c z2	c z c		,
1	0		1	0	1	0	2	1	0

где в правой части – характеристический полином наблюдателя, а в левой – желаемый характеристический полином, сформированный из желаемых корней. Как видим, порядок наблюдателя равен (2n – 1) = 3, где n = 2 – порядок объекта.

Система уравнений для расчета искомых параметров корректора, порождаемая последним уравнением, приведена ниже:

a1	0	b1l1		c2 ,
a0	a1 0		b1l0	b0l1 c1,
a0	0	b0l0	c0 ,

или в векторно-матричной форме:

1	0	b1	0	c2	a1
a1	b1	b0	l0	c1	a0 .	(7.69)
a0	b0	0	l1	c0	0

278	Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ

ПРИМЕР 7.16

Синтезируется наблюдатель для объекта третьего порядка. По аналогии с примером 7.15 корректор выбираем в виде передаточной функции поряд-

ка (n–1):

		l	2	z2	l z	l
	L(z)				1	0	.
		z2			1z	0

Основное расчетное соотношение для этого случая:

z3 a z2	a z a z2		1	z	0
2	1	0

b z2	b z b		l z2	l z l		c(z) ,
2	1	0	2	1	0

а порождаемая им система уравнений для расчета параметров корректора получается следующего вида:

0	1	0	0	b2		0	c4	a2
1	a2 0		b2		b1	1	c3	a1
a2 a1		b2 b1			b0	l0	c2	a0 .	(7.70)
a1	a0	b1	b0		0	l1	c1	0
a0	0	b0	0	0		l2	c0	0

Выводы

1.Порядок корректора L(z) для таких наблюдателей равен (n – 1), где n – порядок объекта.

2.Порядок наблюдателя в целом равен (2n – 1).

3.Минимальное время сходимости процессов в наблюдателе не более (2n – 1) шагов.

4.На основании анализа систем уравнений (7.69) и (7.70) методом математической индукции аналогичную систему уравнений для расчета параметров корректора можно построить для объекта любого порядка.

7.6. Наблюдатели состояния

279

7.6.2. МАТРИЧНАЯ ПРОЦЕДУРА СИНТЕЗА НАБЛЮДАТЕЛЕЙ

Здесь рассмотрим процедуру синтеза наблюдателей, в которой используется математическая модель объекта в векторно-матричной форме, поэтому процедуру назовем «матричной»:

x(k 1) Ax(k) Bu(k),

(7.71)

y(k) Cx(k),

размерности векторов и матриц стандартные:

x Rn ; u, y Rm ; A Rn n ; B Rn m ; C Rm n.

Объект должен обладать свойством наблюдаемости.

Как видно из структурной схемы (рис. 7.37), данный наблюдатель дает возможность найти оценку вектора состояния x (k) , кроме того, он

позволяет получить прогноз вектора состояния x (k 1) , а с его

помощью можно получить прогноз выхода объекта, что может оказаться полезным при решении задач синтеза регуляторов.

u	y(k)
	B

Объект
			(	)
		L
			(	)
	x (k 1)	1	x (k )	yМ (k)
BМ	z		CМ
Наблюдатель
		AМ

Рис. 7.37. Структурная схема наблюдателя, синтезированного по матричной процедуре

280 Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ

Представим систему уравнений, описывающих динамические свойства наблюдателя:

	x (k 1)			AM x (k ) BM u(k ) L (k ),
	yM (k)		CM x (k),		(7.72)
	(k)	y(k) yM (k),
где A	A, B B,	C		C ; L Rn m	– матрица-корректор на-
M	M	M

блюдателя. Порядок наблюдателя совпадает с порядком объекта. Введем новую переменную как невязку между вектором состояния

объекта и вектором состояния наблюдателя:
e(k) x(k) x (k) ,
сдвинем аргумент в этом уравнении на один шаг вперед:
e(k 1) x(k 1) x (k 1) .			(7.73)
Подставим x(k 1) и x (k	1)	в выражение (7.73)	из уравнений
(7.71) и (7.72), получим разностное уравнение для невязки
e(k 1)	( A	LC)e(k) .	(7.74)

Уравнение для невязки (7.74) является однородным. Если наблюдатель устойчив, то e(k) стремится к нулю и при этом x (k) стремится к x(k).

Основное расчетное соотношение для вычисления параметров корректора (матрицы L) получим из выражения (7.74), записав характеристическое уравнение наблюдателя

det(zI A LC) C(z) ,

(7.75)

где C(z) есть желаемый характеристический полином наблюдателя, сформированный из желаемых корней.

Число уравнений, порождаемых основным расчетным соотношением (7.75), меньше, чем количество искомых коэффициентов матрицыкорректора, поэтому часть коэффициентов можно задать произвольно, нередко их задают нулевыми, но n штук коэффициентов матрицы L должны остаться свободными.

Рекомендация: при выборе свободных коэффициентов li, j матри-

цы-корректора (n штук) необходимо, чтобы в каждый коэффициент характеристического уравнения при степенях z левой части уравнения (7.75) вошел хотя бы один из свободных коэффициентов.