vostrikov

Г л а в а 8

ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Во всех предыдущих главах мы изучали свойства систем, процессы в которых с достаточной точностью описываются ли-

нейными математическими моделями. Однако такие модели справедливы, как правило, только в определенном диапазоне изменения переменных состояния и при других условиях работы могут стать существенно нелинейными.

Ужесточение требований к качеству работы физических систем автоматики приводит к применению все более сложных математических моделей, которые тем не менее никогда не будут полностью адекватны реальному объекту. Кроме того, характеристики некоторых элементов имеют настолько существенный нелинейный характер, что вообще не могут быть линеаризованы (например, реле с гистерезисом). Таким образом, в ряде ситуаций необходимо применять описание системы с помощью нелинейных математических моделей.

В этой главе мы дадим некоторые принятые определения нелинейных систем, обсудим способы их описания и отметим основные отличительные особенности по сравнению с линейными моделями.

8.1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Нелинейными системами автоматического управления будем называть системы, содержащие хотя бы один нелинейный элемент.

Различают статические нелинейные элементы, которые можно пред-

ставить в виде нелинейных статических характеристик, и динамические, процессы в которых описывают нелинейные дифференциальные уравнения.

302	Глава 8. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Основной динамической характеристикой нелинейных звеньев и систем является нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение. В общем случае поведение многоканальных систем описывают следующие уравнения состояния и выхода:

x f (t, x, u),	x Rn , u Rm ,	(8.1)
	y Rm , n m,
y g(t, x),

где x – n-мерный вектор состояния; u – m-мерный вектор управления; y – m-мерный вектор выходных переменных; f (t, x,u) и g(t, x) – не-

линейные вектор-функции. Зависимость этих функций от t отражает действие возмущений. Причем под возмущением понимают как влияние окружающей среды, так и изменение параметров объекта.

В частном случае управляющее воздействие может входить в уравнение состояния (8.1) в виде суммы с нелинейными коэффициентами

	x f (t, x) B(t, x)u,	(8.2)
	y g(t, x),
	где B(t, x) – матрица нелинейных коэффициентов размера n m .

Систему, поведение которой описывают уравнения (8.2), будем на-

зывать нелинейной нестационарной системой с аддитивным управлением.

Если параметры системы с течением временем не меняются и возмущающие воздействия пренебрежимо малы, то она называется нели-

нейной стационарной системой. Ее модель имеет вид

x f (x) B(x)u,

(8.3)

y g(x).

В случае, когда отсутствует управляющее воздействие в (8.2), сис-

тема называется нелинейной нестационарной автономной и описы-

вается уравнениями

x f (t, x),

(8.4)

y g(t, x).

Если правая часть уравнений (8.4) не зависит от времени t, то мы будем говорить о нелинейной стационарной автономной сис-

теме.

8.2. Пространство состояний

303

8.2. ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ

Свойства систем, поведение которых описывают уравнения (8.1)–(8.4), можно интерпретировать графически в пространстве размерности n. Такое пространство, координатами которого являются переменные состояния x, называется пространством состояний*.

Рассмотрим, как представляется в пространстве состояний поведение системы (8.1)

x f (t, x,u)

при условии, что u const .

Состоянию системы в произвольный	xnxn
момент времени соответствует конкрет-
		xx1(0)(0)	x2(0)
ная точка пространства состояний x(t),
		1	x2	(0)
которая называется изображающей точ-
								x1
кой системы (рис. 8.1). С изменением							1
				x(ti	)
времени эта точка выписывает траекто-	xj (0)j			x(t)

	рию, называемую фазовой траекторией	Рис. 8.1. Пример фазового
	системы.
		портрета системы
	Совокупность фазовых траекторий,

полученных при движении из различных начальных условий, называют фазовым портретом системы. Он позволяет оценить свойства нелинейной системы.

xn

x((tit))

x11

Рис. 8.2. Пример векторного поля системы

В каждый момент времени изображающая точка системы x(t) имеет определенную скорость x(t) , которую также

можно изобразить в пространстве состояний в виде вектора скорости, имеющего определенное направление. Совокупность векторов скорости будем называть век-

торным полем системы (рис. 8.2).

Точки пространства состояний, в которых вектор скорости равен нулю

x 0 ,

(8.5)

представляют собой точки равновесия системы.

* Отметим, что в пространстве состояний можно также исследовать свойства линейных систем, рассмотренных в предыдущих разделах.

304 Глава 8. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

8.3. КОМБИНИРОВАННОЕ ОПИСАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

При составлении математической модели процессов в системе управления предварительно получают описание отдельных элементов в виде соответствующих уравнений, причем по возможности их ста-

v		u		y	раются линеаризовать.	Звенья,
			Wл((p)		уравнения которых допускают ли-
		НЭ
			л
					неаризацию, образуют	линейную
					часть системы, а устройства, пове-
					дение которых описывают нели-
Рис. 8.3. Структурная схема комби-					нейные уравнения, составляют ее
		нированной системы			нелинейную часть. В результате
					получают систему с комбиниро-

ванным описанием (рис. 8.3). Здесь НЭ – нелинейная часть системы, которая представляет собой совокупность всех нелинейных звеньев. Часто в комбинированной системе в качестве НЭ рассматривается статическая нелинейность, где зависимость между входной и выходной величинами описывается соотношением

	u	f ( ) .	(8.6)
	Примеры типовых статических нелинейных звеньев приведены на
а	рис. 8.4.	в
	б

а

б

в

г

Рис. 8.4. Статические характеристики нелинейных звеньев:

а – идеальное реле; б – усилитель с ограничением; в – реле с зоной нечувствительности; г – реле с гистерезисом

Линейная часть системы может иметь структуру любой сложности и описывается передаточной функцией Wл(p).

8.4. Особенности процессов в нелинейных системах

305

8.4.ОСОБЕННОСТИ ПРОЦЕССОВ

ВНЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Рассмотрим наиболее характерные особенности процессов в нелинейных системах.

• В нелинейных системах вид и качество переходного процесса существенно зависят от величины входного воздействия и начальных условий. Так, увеличение входного воздействия (рис. 8.5) приводит к качественному изменению переходного процесса: из устойчивого он становится неустойчивым.

y

y1 (t)

t

y2 (t)

Рис. 8.5. Пример реакции нелинейной системы на изменение входного воздействия (u2 u1)

Изменение начальных условий также может приводить к существенному различию в переходных процессах, например, к возникновению колебаний (рис. 8.6).

y

y1(0)

y2 (0)

t

Рис. 8.6. Пример реакции нелинейной системы на изменение начальных условий

306 Глава 8. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

								• Важная особенность нелинейных сис-
		xxnn
								тем состоит в том, что к ним неприменим
				x (0)				принцип суперпозиции. Реакцию нелиней-
				2 x2 (0)				ной системы	автоматического управления
								на несколько	произвольных внешних воз-
						x1x1
								действий нельзя рассматривать как сумму
	xx33(0)
								составляющих	на каждое воздействие от-
					1(0)			дельно, поскольку эта реакция зависит от
					x1(0)
								величины входного воздействия и началь-
Рис. 8.7. Пример состоя-								ных условий.
ний равновесия нелиней-								• Характерной особенностью нелиней-
	ной системы							ных систем является возможность возник-
								новения в них автоколебаний, т. е. таких

собственных периодических процессов, параметры которых (частота и фаза) не зависят от начальных условий.

• В нелинейной системе может быть несколько состояний равновесия, к которым в зависимости от величины начальных условий и входных воздействий стремятся переходные процессы.

На рис. 8.7 показано, что из начального состояния x3(0) движение осуществляется к точке равновесия x = 0, а из состояния x1(0) изображающая точка системы движется по замкнутой траектории, которая называется предельным циклом. Эта фазовая траектория соответствует равновесному режиму работы системы. Отметим также, что наличие предельного цикла в пространстве состояний означает возможность возникновения в системе автоколебаний.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В этой главе мы рассмотрели динамические характеристики, которые применяются для описания нелинейных систем. Их и будем использовать при дальнейшем изложении вопросов анализа и синтеза.

Так как в нелинейных системах не выполняется принцип суперпозиции (для отдельных значений входа или состояния он может и выполняться), особое развитие получили методы представления процессов в пространстве состояний, которыми мы и будем пользоваться для иллюстрации различных свойств таких систем.

Г л а в а 9

УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Вэтой главе мы рассмотрим основные методы исследования устойчивости нелинейных систем, которые существенно отлича-

ются от способов анализа линейных систем. В первую очередь, это связано с тем, что свойство устойчивости нелинейной системы зависит от начальных условий и внешних воздействий: при одних входных сигналах система будет устойчивой, а при других она станет неустойчивой. Следовательно, для их анализа нельзя применять разработанные в линейной теории критерии устойчивости.

Устойчивость нелинейной системы автоматического управления означает, что малые изменения возмущений или начальных условий не выведут выходную переменную за пределы достаточно малой окрестности точки равновесия или предельного цикла. Поскольку для нелинейной системы могут существовать несколько положений равновесия, анализировать устойчивость следует в окрестности каждого из них.

Проблема устойчивости нелинейных систем имеет сравнительно давнюю и очень интересную историю развития. Следует отметить, что основная тематика исследований формировалась вокруг идей русского ученого А.М. Ляпунова [28], которые в дальнейшем были развиты в работах [4, 7, 16, 27–30]. Однако эти способы анализа устойчивости нелинейных систем дают, как правило, достаточные условия, поэтому для них трудно ввести понятие запаса устойчивости, применяемое в линейном случае и очень важное для проектирования систем.

308	Глава 9. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

9.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Поскольку поведение нелинейной системы существенно зависит от величины внешних воздействий, их численные значения всегда оговариваются при анализе ее свойств. Исследуем понятие устойчивости для автономной стационарной системы, уравнение состояния которой имеет вид

z

(z),

z Rn .

(9.1)

Обычно нас интересует устойчивость относительно равновесного

режима z0 . Задачу анализа можно свести к проверке устойчивости системы относительно начала координат в пространстве новых переменных. С этой целью введем вектор переменных x, в качестве которых выберем отклонение от состояния равновесия

x z z0 .

(9.2)

Дифференцируя (9.2) по времени, получим уравнения состояния для новых переменных

x	z	z0	(x z0 ) ,
которые запишем в виде
		x	f (x) .	(9.3)

В пространстве состояний x согласно (9.2) и (9.3) точка равновесия совпадает с началом координат, т. е.

f (0) 0 . (9.4)

Рассмотрим теперь условия устойчивости автономной системы (9.3) относительно точки x 0 .

Положение равновесия системы называется асимптотически устойчивым, если при движении из начальных условий имеет место свойство

lim x(t) 0	x(0) Rn .	(9.5)
t

xnxn

xx1

Рис. 9.1. Иллюстрация асимптотически устойчивого состояния равновесия

9.1. Основные понятия и определения

309

Условие (9.5) означает, что с течением времени фазовые траектории системы «стягиваются» к началу координат (рис. 9.1). При неустойчивом движении фазовая траектория удаляется от точки равновесия или вырождается в предельный цикл.

В зависимости от значений x(0) ,

для которых выполняется условие (9.5), различают устойчивость «в малом» и «в большом».

Состояние равновесия системы на-

зывается асимптотически устойчи-

вым «в малом», если существует, пусть как угодно малая, окрестность положения равновесия, где это свойство имеет место.

Состояние равновесия системы на-

зывается асимптотически устойчивым «в большом», если условие (9.5)

выполняется для любых начальных условий из рабочей области пространства состояний.

Состояние равновесия системы называется экспоненциально устойчивым, если оно устойчиво асимптотически и выполняется ус-

ловие

x(t)

c

x(0)

e t ,

(9.6)

где c const 0,

const 0 .

В зависимости от начальных условий можно также выделить экспоненциальную устойчивость «в малом» и «в большом».

Отметим, что для систем автоматики важно наличие именно экспоненциальной устойчивости, которая гарантирует, кроме сходимости, и скорость переходных процессов (с показателем α). Свойства асимптотической устойчивости недостаточно для работы реальных систем.

310	Глава 9. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

9.2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛИНЕЙНОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ

В некоторых случаях устойчивость состояния равновесия нелинейной системы можно исследовать по уравнениям первого приближения, полученным в результате линеаризации уравнений состояния в малой окрестности точки равновесия. Такой способ был предложен А.М. Ляпуновым.

Рассмотрим этот подход для нелинейной автономной стационарной системы

x f (x), x Rn , f (0) 0.

(9.7)

Разложим f(x) в ряд Тейлора в малой окрестности состояния равновесия:

	x	f		x R(x) ,	(9.8)
		xT
				x 0

где R(x) – члены ряда разложения выше первой степени; матрица частных производных f xT имеет вид

			f1			f1
	f		x1			xn
						.		(9.9)
	xT
			fn			fn
			x1			xn

Отбрасывая члены ряда разложения R(x) , вместо (9.8) получим

	x	f		x .	(9.10)
		xT
				x 0

Матрица частных производных (9.9) рассматривается в точке равновесия, поэтому представляет собой числовую матрицу коэффициентов, для которой введем обозначение