vostrikov

7.7. Реализация типовых ПИД-регуляторов

291

e(t)

u(t)

1

K

TИ

d TД dt

Рис. 7.41. Структурная реализация непрерывного ПИД-регулятора

Пропорциональная и интегрирующая компоненты ПИД-регулятора обеспечивают требуемые статические свойства замкнутой системы, а дифференцирующая – позволяет увеличить запас устойчивости.

7.7.2. ЦИФРОВАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ПИД-РЕГУЛЯТОРА

Для построения цифровой реализации в соответствии с выражением (7.87) воспользуемся приближенной процедурой интегрирования по методу прямоугольников и первой разностью для реализации процедуры дифференцирования:

	1	k 1	e(kT ) e(kT T )
u(kT ) K e(kT )		e(iT )T T		. (7.88)
		д
	Tи i 0		T

Сточки зрения цифровой реализации удобнее не прямой алгоритм,

арекуррентный, поэтому найдем управление на предыдущем шаге:

	1	k 2	e(kT T ) e(kT 2T )
u(kT T ) K e(kT T )		e(iT )T T		, (7.89)
	TÈ	Ä	T
		i 0

затем – разность между текущим управлением (7.88) и управлением на предыдущем шаге (7.89) и с помощью этой разности построим рекуррентную процедуру вычисления управления:

u(k)

u(k 1)

q0e(k) q1e(k 1)

q2е(k

2) ,

(7.90)

где

q

K K

Tд

; q

K K

T

2K

Tд

; q

K

Tд

.

0

T

1

TИ

T

2

T

292 Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ

Представим управление (7.90) в операторной форме:

1 z 1 u(z)

q

q z 1

q z 2

e(z) .

0

1

2

q 0

e(k)

q1

u(k)

z

1

z 1

q2

Рис. 7.42. Структурная реализация цифрового ПИД-регулятора

Найдем передаточную функцию цифрового ПИД-регулятора (рис. 7.42):

	u(z)		q	q z 1	q z 2
WПИД (z)		0		1	2
	e(z)			1 z	1

и в окончательном виде

		q z2	q z	q
W	(z)	0	1	2	.
ПИД		z2	z

7.7.3. МОДИФИКАЦИИ ЦИФРОВОГО ПИД-РЕГУЛЯТОРА

Первая модификация связана с использованием более точной процедуры интегрирования по методу трапеций в выражении (7.88):

		T		e(0) e(k)	k 1	T
	u(k) K e(k)				e(i)	д	e(k) e(k 1) .
		TИ	2			T
					i 1

Для получения рекуррентной процедуры найдем управление на предыдущем шаге:

			T		e(0) e(k	1)	k 2
u(k 1) K e(k 1)							e(i)
			Tи	2
							i 1
	Tд	e(k 1) e(k 2) ,
	T

7.7. Реализация типовых ПИД-регуляторов

293

тогда рекуррентная процедура вычисления управления, аналогичная (7.88), примет вид

u(k) u(k 1) (k) u(k 1) q0e(k) q1e(k 1) q2e(k 2) .

Итоговое выражение для управления не изменилось, но изменились выражения для вычисления коэффициентов qi:

	T		T		T		2T			T
q(0) K 1			д	; q(1) K 1			д	; q(2)	K	д	.
	2Tи		T		2Tи		T			T

Вторая модификация, цель которой – уменьшить «рывки» в управляющем воздействии. Исключаем для этого в дифференцирующей компоненте входное задающее воздействие:

T

e(0)

e(k)

k

1

Tд

u(k) K e(k)

e(i)

y(k) y(k 1) ,

Tи

2

i

1

T

тогда

u(k) u(k 1) q0e(k) q1e(k 1) g0 y(k) g1y(k 1) g2 y(k 2) ,

T

T

T

T

T

где

q K 1

; q

K 1

; g

K

д

; g

2K

д

; g

K

д

.

0

2

0

2Tи

1

2Tи

T

1

T

T

Третья модификация связана с реализацией дифференцирующей компоненты ПИД-регулятора. Передаточная функция непрерывного дифференцирующего фильтра первого порядка имеет вид

	Wд ( p)	Tд p		,
		p	1

тогда передаточная функция непрерывного ПИД-регулятора:

WПИД ( p) K 1	1	1			TД p
						.	(7.91)
	Tи
			p		p 1

Для перехода к дискретной реализации такого ПИД-регулятора существует две возможности.

294 Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ

Первая возможность – преобразование Тастина (см. подразд. 7.2.17) Заменяем оператор дифференцирования в (7.91) на

p	2 z			1	.
	T z			1

Вторая возможность – применить к выражению (7.91) Z-преобра- зование (см. подразд. 7.2.6):

W (z)	z	1		Z	WПИД ( p)
						.
ПИД		z			p
7.7.4. О НАСТРОЙКЕ ПИД-РЕГУЛЯТОРА
Для настройки ПИД-регулятора					разработан метод Циглера–

Николса [41]. Этот метод применим только для устойчивого объекта, примерная переходная характеристика которого показана на рис. 7.43. Передаточная функция такого объекта:

W (p)	KO	e	pτ	.
	TO p
		1
y(t)
KO
				t
	TO
Рис. 7.43. Примерная переходная функция
объекта управления

В приложении 3 приведены расчетные соотношения для вычисления параметров П, ПИ и ПИД-регуляторов для этого объекта.

Задачи

295

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В этой главе изучены вопросы линейной теории импульсных систем управления. Приведены способы перехода от непрерывных моделей объектов управления к дискретным, рассмотрены динамические характеристики импульсных систем, вопросы анализа устойчивости и качества процессов в таких системах.

Особое внимание уделено синтезу дискретных регуляторов, в основу которого положен модальный метод. Приведены два способа синтеза: по выходу и по состоянию. Второй способ предполагает использование в обратной связи оценки вектора состояния, которую можно получить с помощью специальной динамической подсистемы, называемой наблюдателем. Рассмотрены два способа реализации наблюдателей: операторный, в котором используется модель объекта в виде дискретной передаточной фкункции, и матричный, в котором используется модель объекта, представленная в виде системы разностных уравнений.

Заключительная часть главы посвящена цифровой реализации типовых ПИД-регуляторов.

ЗА Д А Ч И

7.1.Перейти от непрерывной передаточной функции

	W ( p)	p	1
		4 p2	p 1

к разностному уравнению, используя матричную процедуру перехода, при заданной величине шага квантования по времени T = 0,1 c.

7.2. Перейти от дифференциального уравнения x(t) 2x(t) 3u(t) к

разностному уравнению методом конечных разностей, при заданной величине шага дискретизации по времени T = 0,5 c.

7.3. Найти дискретную передаточную функцию по заданному разностному уравнению

2 y(k 1) 3y(k) 5u(k) .

7.4. Найти дискретную передаточную функцию по заданной системе разностных уравнений

296	Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
x1(k 1)	x1(k) x2 (k) u(k),

x2 (k 1) 2x1(k) x2 (k) 2u(k), y(k) x1(k) 2x2 (k).

7.5. Перейти от дискретной передаточной функции

	W (z)	6z2	5z	4
		4z3 3z2		2z 1

кразностному уравнению.

7.6.Перейти от заданного разностного уравнения третьего порядка

ксистеме разностных уравнений. Изобразить структурную схему системы, реализованную на звеньях задержки

y(k 3) 2 y(k 2) 3y(k 1) y(k) 2u(k 2) 3u(k 1) 4u(k) .

7.7. Модель объекта задана системой дифференциальных уравнений x1 0,8x1 x2 0,15u,

x2	0,15x1 0, 2u,

y x1.

Используя Z-преобразование, найти передаточную функцию объекта при шаге квантования по времени T = 0,5 c. Составить структурную схему системы на звеньях задержки.

	7.8. Модель объекта задана передаточной функцией W ( p)	6	. Ис-
		p

пользуя Z-преобразование, найти дискретную передаточную функцию W (z) при шаге дискретизации по времени T = 0,1 c.

7.9. Модель непрерывной динамической системы задана дифференциальным уравнением y 2 y y u 3u .

Используя преобразование Тастина, найти дискретную модель объекта, записать ее передаточную функцию W (z) и составить структурную схему

дискретной системы на звеньях задержки. Шаг дискретизации T = 0,1 c. 7.10. Проверить устойчивость дискретной системы, математическая

модель которой задана дискретной передаточной функцией

	W (z)		0,1z	2 0,05z 0,02		.
		z3	0,	48z2	0,82z 0,8

Задачи

297

7.11. Характеристическое уравнение линейной дискретной системы

имеет вид z2 0,1z 0,5 0 .

Найти его корни и оценить устойчивость системы, используя билинейное преобразование.

7.12. Проверить устойчивость системы, модель которой задана линейным разностным уравнением

8y(k 2) 2 y(k 1) y(k) 9u(k 1) 11u(k) .

7.13. Математическая модель дискретного объекта задана системой разностных уравнений

x1(k	1)		0, 2x1(k)	0, 06x2 (k) 0,1u(k ),
x2 (k	1)		0, 4x1(k)	0,12x2 (k).
Заданы начальные условия x1(0)				2, x2 (0) 1 и управляющее воз-
действие u(k) 2, k		0,5 . Построить траекторию движения изобра-

жающей точки на фазовой плоскости.

7.14. Рассчитать процесс в дискретной системе, математическая модель которой представлена разностным уравнением y(k 2) 0, 2 y(k 1)

0,1y(k) 0,3u(k 1) 0,1u(k) , при заданных начальных условиях

y(0) = 0; y(–1) = –0,5 и заданных значениях управляющего воздействия: u(0) = 0,4; u(1) = 1; u(2) = 1; u(3) = 1,5; u(4) = 2; u(5) = 2; k = 1,…,6.

7.15. Проверить свойство управляемости объекта, заданного системой разностных уравнений

x1(k 1) x2 (k ),

x2 (k 1) 2x1(k ) x2 (k ) u(k ), y(k ) x1(k ) x2 (k ).

7.16. Проверить свойство управляемости объекта, заданного системой разностных уравнений:

x1(k 1) x2 (k), x2 (k 1) x3 (k),

x3 (k 1) x1(k) x2 (k) x3 (k) 2u(k).

298 Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ

Найти управление для перевода данной системы из начального состояния {x1(0), x2 (0), x 3(0)} {1, 1, 1} в состояние { 1, 1, 1} и построить тра-

екторию движения изображающей точки в фазовом пространстве.

7.17. Проверить свойство наблюдаемости объекта, заданного передаточной функцией

	W (z)		0,1z2 0,15z 0,05		.
		z3	0,56z2	0,78z 0, 4

7.18. Проверить свойство наблюдаемости для объекта, заданного системой разностных уравнений

x1(k 1) 0, 2x2 (k)			0, 4x3 (k) 0, 2u(k),
x2 (k	1)	0, 4x1(k)	0,3x2 (k) 0,5x3 (k) 0,1u(k),
x3 (k 1)		0, 2x1(k) 0,3x2 (k) 0,5x3 (k) 0,5u(k),
y(k)	x1(k) x2 (k) 2x3 (k).

По известным значениям входа и выхода данной системы требуется найти ее начальное состояние {x1(0), x2 (0), x3(0)}, где y(0) = 0;

y(1) = 0,5; y(2) = 1; u(0) = 2; u(1) = 1.

Проверить свойство наблюдаемости объекта, математическая модель которого задана передаточной функцией

	W (z)	0, 2z2	0,06z 0,008		.
		z3 0,6z2		0, 25z 0,02

7.19. Для объекта, математическая модель которого задана передаточной функцией

W (z) 0, 22z 0,18 , z2 z 0,9

выполнить синтез регулятора, используя астатическую процедуру модального метода синтеза по выходу, изобразить структурную схему синтезированной системы. Желаемые свойства заданы корнями: z1 0;

z2 0,2; z3 0,04 .

7.20. Для объекта, математическая модель которого задана передаточной функцией

	Задачи				299
	W (z)	0,1z2	0,05z 0,02		,
		z3 0,6z2		1,82z 0,8

выполнить синтез статического регулятора, используя статическую процедуру модального метода синтеза по выходу, изобразить структурную схему синтезированной системы. Желаемая динамика системы задана корнями z1 0; z2 0,2; z3 0,5 .

7.21. Для объекта, математическая модель которого задана системой разностных уравнений

x1(k	1) 0,1x1(k ) 0, 2x2 (k ) 0,1u(k ),
x2 (k 1)		0, 2x1(k ) 0,3x2 (k ) 0, 2u(k ),
y(k)	x1(k)	0,1x2 (k ).

выполнить синтез астатического регулятора, используя астатическую процедуру модального метода синтеза по состоянию, изобразить структурную схему синтезированной системы, реализованную на звеньях задержки. Процессы в замкнутой системе должны быть минимальной длительности.

7.22. Для объекта, математическая модель которого задана передаточной функцией

	W (z)	0, 25z 0,12		,
		z2 1,82z	0,8

выполнить синтез статического регулятора, используя статическую процедуру модального метода синтеза по состоянию, изобразить структурную схему синтезированной системы, реализованную на звеньях задержки. Процессы в замкнутой системе должны быть минимальной длительности.

7.23. Рассчитать наблюдатель пониженного порядка для объекта, математическая модель которого задана передаточной функцией

	W (z)	0,5z2	0, 2z 0,02		.
		z3 0,6z2		1, 2z 0,8

Желаемая динамика наблюдателя задана корнями z1 0; z2 0,1.

300 Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ

7.24. Рассчитать наблюдатель пониженного порядка для объекта, математическая модель которого имеет следующий вид:

x1(k	1)	0,1x1(k) 0, 4x2 (k) 0, 2x3 (k)	0, 2u(k),
x2 (k	1)	0,3x2 (k) 0, 7x2 (k) 0,5x3 (k)	0,1u(k),
x3 (k 1)		0, 2x1(k) 0,3x2 (k) 0,5x3 (k) 0,5u(k),
y(k) 0,5x1(k).

Процессы в наблюдателе должны быть минимальной длительности. 7.25. Используя операторную процедуру синтеза наблюдателей,

рассчитать наблюдатель для объекта, математическая модель которого задана передаточной функцией

	W (z)	0, 2z	0,12	.
		0,3z2	0,6z 1, 2

Желаемая динамика наблюдателя задана корнями: z1 0; z2 0,1; z3 0,1.

7.26. Используя матричную процедуру синтеза наблюдателей, рассчитать наблюдатель для объекта, математическая модель которого задана передаточной функцией

W (z)	0,3z 0, 2		.
	0, 2z2 0, 4z	0,7
Желаемая динамика наблюдателя задана корнями: z1 0,1; z2				0,1 .

7.27. Используя матричную процедуру синтеза наблюдателей, рассчитать наблюдатель для объекта, математическая модель которого задана системой разностных уравнений

x1(k 1)	0,5x1(k ) 0, 2x2 (k) 0,5u(k ),
x2 (k 1)	0, 2x1(k ) 0, 2x2 (k ) 0,3u(k ),

y(k) x1(k) 0,5x2 (k).

Желаемая динамика наблюдателя задана корнями z1 0,1; z2 0,1.

7.28. Используя процедуру синтеза наблюдателей пониженного порядка, рассчитать наблюдатель для объекта, математическая модель которого задана системой разностных уравнений в задаче 7.27. Желаемая динамика наблюдателя задана корнем z1 0,1.