Книги / Каменев П.Н. Вентиляция1

Глава 3

СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ АЭРОДИНАМИКЕ

В настоящее время в практике вентиляционных расчетов все

большее применение получают методы математического моделиро-

вания сложных движений воздуха: вблизи всасывающих отверстий местных отсосов, в каналах сложной формы, в объеме помещений.

Математическое моделирование основано на решении дифференци-

альных уравнений теоретической аэродинамики. В эту область вен-

тиляционной аэродинамики заметный вклад внесли В. И. Посохин,

В.К. Хрущ, Н. Н. Беляев, В.Г. Шаптала, Г.Л. Окунева, И.Л. Гуревич,

Р. Х. Ахмадеев, И. И. Конышев, К. И. Логачев и другие. В настоящей

главе приведены эти уравнения и основные методы их решения.

§10. Основные понятия аэродинамики

Аэродинамика является механикой газообразной среды, в кото-

рой имеет место беспорядочное молекулярное движение.

Д’Аламбер и Эйлер предложили считать воздух сплошной сре-

дой, непрерывно заполняющей пространство. Это допущение, назы-

ваемое постулатом о сплошности газообразной среды, позволило

изучать поведение объемов воздуха, размер которых многократно превосходит размер молекул.

Движение воздуха может быть установившимся и неустано-

вившимся. При неустановившемся движении плотность, давление,

скорость и прочие характеристики в каждой точке потока изменяют-

ся во времени. В случае установившегося движения эти характери-

стики во времени не изменяются. В вентиляции рассматриваются

преимущественно установившиеся течения.

Различают два режима течений: ламинарное и турбулентное.

На объемы воздуха действуют силы: поверхностные и объем-

ные. Поверхностные действуют только на частицы, расположенные

на поверхности некоторого объема, направлены по касательной,

°Ьъемные - на каждую частицу объема, всегда перпендикулярны

Доверхности, ограничивающей рассматриваемый объем.

Напряжением объемной силы называется сила, приходящаяся на еДиницу объема, примером тому является объемный вес.

Электронная	61
	библиотека Ь-ППр:/ / Ьдм .кКзби.ги

(ЗЛ)

Напряжением поверхностной силы является сила, приходящаяся на единицу поверхности. Примером такого рода напряжения являет-

ся касательное напряжение.

Траектория частицы фиксирует изменение положения части-

цы с течением времени.

Дифференциальное уравнение траектории частиц имеет вид:

(1х _ с1у _ Лг

где V*, уу, уг - проекции скорости на ось координат.

Линия тока также отражает движение потока, но отличается от траектории. Траектория фиксирует положение и вектор скорости в фиксированный момент времени только одной частицы. Линия тока

в тот же момент времени указывает направление движения многих

частиц. Ряд линий тока даст картину движения воздуха в данный

момент времени. При установившемся движении траектории частиц

и линии тока совпадают.

Элементарная струйка ограничена поверхностью, составлен-

ной из траекторий, проходящих через достаточно малый контур

(рис. 3.1). Различают элементарную и струйку конечного поперечно-

го сечения. Под элементарной струйкой понимают бесконечно-тон-

кую струйку, по поперечному сечению которой плотность и скорость

изменяются крайне незначительно и могут быть приняты постоян-

							мо
ными. В струйке конечного поперечного сечения эти параметры								-
гут изменяться.		вращается		и деформируется. Вращение
Движущаяся частица
			,	деформация		- скоростью ли
характеризуется скоростью вращения								-
нейной дефоромации и скоростью угловой деформации.
Скорость линейной деформации частиц определяется по
деформации частицы в виде прямоугольного параллелепипеда								с
ребрами Ах, Ау и	, параллельными				соответствующим		осям
(рис. 3.2).	Аг
Проекции скорости на ось координат:
К = Эх			-CУ .		-C.		(3.2)
		I	Э у ’	1г	= Эг ‘

Скорость угловой деформации частицы определяется по де-

формации углов граней параллелепипеда, образованного ребрами

62

Электронная библиотека Ъббр:/ /Ъдч.кЬзби.ги

Ду и Аг. Угловая скорость вращения ребра Ау составит Ду2 /Ау, а

ребра Аг - (Ду/Дг).

	\		У„+ДУ
	\т
		\	*
	\	\
	\	\
	\	\	Д2
	\	\
		\
		\	*
		ЛУ
	п У2 +ДУ2
		4
		У
Рис 3 1. Элементарная	Рис. 3.2	Деформация грани паралле-
струйка	лепипеда с ребрами Ду и Д2

Среднюю скорость угловой деформации рассматриваемой грани принято характеризовать полусуммой угловых скоростей.

1Ду2 + ДV у

2Ау А?

Скорости угловой деформации частицы в плоскости, перпенди-

кулярной одной из осей:

Р

1 (

-C,

А

-C

Р

_

1

!-CE

-C2

1

( -C

х = —2

±

дг

у

2

+ Эх

2

C

Эу

(3.3)

Эу-

у

дг

V

Зх

У

Угловая скорость вращения частиц. При положительном на-

правлении

ха

вращения средняя угловая скорость вращения грани -

-

рактеризуется средним арифметическим из соответствующих угло

вых скоростей вращения ребер

1 [

Ду,

Агу

2

Ау

А?

Перейдя к пределу, получим:

_ .

1

( -C

-C>

1( дух

-C-

1|Ъ

гч =

Ьг

-

со2

*

‘

(3.4)

2

Г

Эг

Эх ’

= 2

Эх

.

Ь

V

’

2

дуУ

/

/

V

63

Электронная библиотека ЬССр:/ / Ьдч.кЬзСи.ги

Коэффициент 1/2 вводится для того, чтобы данные формулы аэ- родинамики не противоречили соответствующим формулам меха- ники твердого тела.

§11. Уравнения аэродинамики

Уравнение расхода принято записывать в двух формах:

• через осредненные по поперечному сечению потока скорости:

Р1ЛУ1 - Р2^2У2 »

(3.5)

где р - плотность воздуха; у - осредненная скорость в поперечном сечении элементарной струйки; А - площадь поперечного сечения элементарной струйки.

• через осевую скорость: осевую уос с использованием равенства:

уср„„ = куОС ’

где к- коэффициент поля скоростей.

В этом случае:

Ар!АУ — ^2Р2-Ау2 ’					(	3.6	)
а коэффициент
к =		1	|	=|1а ,
			уда		ус
	Кс	У0СА А			О

где C = C /C>A и с1а = с1а / А .

Уравнение Бернулли. Получено при рассмотрении движения

элементарного объема воздуха в струйке под действием привнесен-

ных в нее теплоты, объемных и поверхностных сил. Известны не-

сколько форм записи уравнения Бернулли:

• обобщенная форма:
.	ф		4	у	(3.7
	—	+
Хс1х + Уф + Хат =						)

\ /

где X , У, X - проекции ускорения на оси координат; с1х, ф, йг - про-

екции расстояния ф на которую перемещается центр тяжести объе-

ма потока; ф - изменение давлений, приложенных перпендикуляр-

но плоскости поперечного сечения потока; р - плотность воздуха: § - ускорение силы тяжести; с11г - элементарная потеря энергии на

трение, отнесенная к единице массы воздуха.

64

Электронная библиотека Ъббр://:1 дV.кЬзби.ги

• упрощенная,

тяжести:

	когда из объемных сил воздействует только сила
		Р		2
	г+		C	+ к	=	СОП51.	(3.8)
		Р8	2
				§

Уравнение получено путем

количества приложения

движения к выделен-

ному

объему

воздуха

в

элементарной

струйке	(рис.3.3)	уравнения

сил	импульс	результирующей
:

импульса
силы	-
	ра

вен

геометрической

разности

количеств

движения

.

		Кп		РгРг 2			2,Ср			2
			-		^	у		005	@		(3.9)
				>	АМлр
			-				СО80
									ь
	Р			?\Р\
где		- коэффициент						Буссинеска;			0 -
угол между				линией			( п-п)		и	направлени-
ем	вектора скорости.

п			п
Рис	3 3 Струйка с векторами
скорости в сечениях и углами
наклона их к линии п		-	п

ния

Уравнение неразрывности получено рассмотрением параллепипеда, построенного около некоторой точки А

поведе-

с коор-

динатами

х

,

у

,

г

в

воздушном

потоке.

Проекции

скорости

точки

на

оси координат		составляют						ух ,
разных точках								CC
		параллелепипеда
конце ребра Ах будет равно
конце	ребра Ат.	-	(уг	+	А	у	)..
							-

,

и	уг	(рис. 3.4). Учитывая, что
скорости различны,					скорость
	в	конце ребра	Ау	-	уу +	Дуг),
					(

в в в

2

У

Рис с

	V, + ДV,		УУ
			Д	^
V			2		+	АТ
*						*
	Л
/		Дт

	О	х
3	4	Элементарный параллелепипед
различными скоростями на гранях

3

Вентиляция

		65
Электронная	библиотека	ЪББр: / / Ьдлт.кЬзБи.ги

Вследствие различия скоростей в начале и конце каждого ребра

последние за промежуток времени <1г получают приращения, а

именно ребро длиной Ах превратится в ребро длиной Ах +			CE <11\
ребро длиной Ду - (Ду + Ауус!г), и ребро длиной	Дг	- (Аг +	C- 1 ).
			A {

Приращение объема параллелепипеда за тот же промежуток време-

ни составит:

с1( АУТ ) = (Ах + АухЖ )( Ау + АууЖ )( А2 + C2 ) .

Произведя преобразования и пренебрегая бесконечно малыми

величинами высших порядков, получим:

^/(АИО = АухАуАк11 + АууАхАЫ1 + Ду.ДхДу<11.

Разделив обе части этого равенства на произведение АхАуАЫ*, в пределе получим уравнение неразрывности:

	-CE	,	ду	ду.	Л	(3.10)
			ду	дг
	ох

Уравнения движения применяют в виде:

1) уравнений Эйлера, не учитывающих действие сил вязкости;

2) уравнений Навье-Стокса, учитывающих их.

Уравнение движения описывает поведение элементарного объ-

ема воздуха под воздействием силы К, вызывающей ускорение а.

Аналогично предыдущему случаю, около некоторой точки А в воз-

душном потоке с давлением р и координатами х, у, и г, проекции скорости которой на оси координат составляют ух> уу и у2> строится малый объем Д1У в виде параллелепипеда из элементарных прира-

щений координат Ах, Ау и	Дг	(рис. 3.5 .
			)
г			Р + дгдр ДгX
			Дг
Р		А Д	Р +	др	АХ
ъ
		*		^
			р
О				х
У^Рис 3 5 Элементарный параллелепипед

с различными давлениями на гранях

66

Электронная библиотека Ы;-Ьр://:^дV.кЬз1;и.ги

принимается
	, что
будут	давления:

на

противоположных

гранях

построенного

объема

	р	И р+	дР	Ах ,
			дх
а	проекции	массовых сил
мальных
	и поверхностных
	1) нормальных

	0@							дР
р и	^		ри		р+					А1
	р+- -Ау ,							дг			,
	ду
ускорения		равны		X	, V,		2.		Проекции
сил	и ускорения равны					:

Кх,Пое	=	&	&-	+	др	Ах	АуАг	=	-	др	АхАуАг ;
		Р У			Эх					Эх

нор-

2)

объемных

К

,об

=

ХМХ

,

где

АМ

-

масса

параллелепипеда

;

3) ускорения

а,	=

Аг

ет

Уравнение вид:

,

составленное из проекций сил на ось абсцисс,

др	АхАуАг + АМХ = АМ	-C,
Эх		д	'
		(

име-

=

Разделив все члены равенства на массу

рАхАуАг и перейдя к пределу, получим:

параллелепипеда

АМ

=

х

1 р

др Эх

=

CE А(

(

3.11)

По

аналогии

проекции

р

ду

уравнения движения	на

у			1		др	_	А\	_
	,	2	-—	•			^
А			р		дг		А
(							{

другие оси:

(3.12)

Входящие в уравнения проекции скорости при установившемся
Движении	являются	только функциями	координат	,
				пространства
поэтому:

3*

C А1

—

-C -E

E А(

,1

-C ду

Ау А1

-C дг

Аг А(

			-C,				-C,		,
=	у	х		+	у	у		+ У,	-C	'
			дг				ду		дг
										67
		Электронная					библиотека		Ъббр:/ /Ъдч.ккзби.ги

Если

пренебречь

силами

вязкости,

получим

уравнения

движения

Эйлера:

7

2

р

1.
-	р
	1
-
	-	•
	Р

Эл:

	ф	=
	Эу
	Эр
	Эг

	х	дх
„
		4
		<
		Эх
	*	Эх

+V	У

+
у	у
+
у
У

Эт	*
Эу

-C Эу

Эуг Эу

	,		.		-CE
+
		у			дг
+				Эт
		^
			г		дг
		_
				-C.
+ .
,		C			дг

’

’

'

	3.13)
(
(	3.14)
(3.15)

При учете сил

сложную форму:

вязкости

уравнения

движения

принимают

более

1

др

гд

Э

ух

,

Э

Уд

-

\

2

—

2

X

•

+ V

—

+

+

.

»

«

Эх

2

2

2

р

Эх

ду

дг

2

у „

2

C

2

у

-

1

Эр

Э

Э

Э

У

+

У

У

У

У

Эу

Эх

дг

Р

2

Эу

2

2

2

у.

2

у

2

у

1

у

Э

Э

Э

4

1

.А

|

.4

2

-

>

+

^

-

+

Г

+

Э22

р

дг

ЭхГ

Эу

х

^

Удг

-C. дг

Эх

-CУ.. Эх

-C. Эх

_
^
	V
	у
+
	У
	у

+
C	У

-C.
*
Эу
-C.	,
У
ду
-C.
Эу

				-C.
'	'			X	’
				дг
				-C
+		V	.	у
				дг
+	V.			-C
1	"			Эг	‘

(

(

(

3.16)

3.17)

3.18)

Эти Стокса.

уравнения

носят

название

уравнения

движения

Навье-

§12.

Простейшие

течения

	Закономерности простейших	течений
течений более сложных. Сложное течение
тат	взаимодействия потоков простейших

используются для расчета

представляют как резуль-

течений, которыми моде-

Ч

лируется сложное	течение
		.	по-
Однородный	поступательный
ток. Частицы движутся		прямолинейно		и
	.	Если (рис. 3.6
параллельно друг	другу			)

У 7 /У

X

положительное направление оси	абсцисс
совпадает с направлением движения пото-
ка, проекции скорости составят:

Рис. 3 6 Однородный

поступательный поток

Из

УЛГ = СОП5Ц	CC	= 0	,	CA = 0.
уравнений	следует:				скорость

од-

породного поступательного потока ки, в таком потоке нет деформации

68

не зависит от координат тоЧ'

и вращения частиц.

Электронная	библиотека	ЕЕЕр:// дV.кЕзЕи.ги
		{;

Пространственный

источник-

.

Движение

воздуха

к

вытяжным

т

чка

0

отверстиям

принято

бесконечно малого размера

называть

стоком.

Точечный сток представляет со-

бой

точку

бесконечно-малых размеров

-

в

пространстве,

через

которую осу

ществляется

отсос воздуха.

точка, че-

Точечный источник -

рез

которую

осуществляется приток

( рис.

3.7).

воздуха

-

Моделью

свободных

точечных сто

Рис.

3.7 Пространственный

источник-точка

ка	или источника является
количеством
	отверстий на

бесконечно маленький шарик с большим поверхности, через которые отсасывается

или

подается

воздух,

истекающий

или

подтекающий

равномерно,

прямолинейно	и	перпендикулярно по-
верхности шарика с объемным расхо-
дом Т. Такое нереальное течение назы-

/

У

вается

пространственным

течением

из точки. Если через

водить отсос воздуха,

трубочку	произ-
течение называ-

ется

пространственным

точечным

стоком. Возможно		истечение	из точки
в			рода ис-
плоскость (рис. 3.8). Такого
точник	называется	плоский	источ-
ник-точка или плоский сток-точка.

Рис. 3.8. Плоский

источник-точка

Приняв		за	начало	прямоугольных	координат источник-точку,
опишем	сферу		радиусом г. Применяя уравнение расхода				-
ку							к источни
-		сфере можно записать:
точке и
				2
				Ь = 4: 3 C .
Скорость			в любой	точке, удаленной		от точечного	источника
(				равна:
стока) на расстояние г,

V

=

I 4тсг2

(

3.19

)

		Уравнение		свидетельствует: скорость вблизи точечного ис					-
точника			3.19
					пропорциональна			лю
		(стока) обратно				квадрату	расстояния
°		точки							-
°	Й		от пространственного источника-точки.
		Проекции
			скорости на оси координат описывается равенствами:
								69

Электронная

библиотека

ВЕЕр://{:дV.

кВзЕи

.ги

тх =

V С05

0

X I

У

=

УСО50

У

V,

=

ГСО

02

,

V.,

’

§

.

где 0

, 0

,

- углы

между скоростью

V

и осями координат

, 0

Х

У

Так как	соз©,
	.

проекции скорости

= х

на

/г,

оси

0050	^	=	у /г,	соз

	/
Г	= -у	х	2	+ у	2	+ 22	,
координат							:
						равны

0,

=

г

/

г

,

CE =

Ь

х

’

Ь

У

,2

3

/ 2

’

4п

/

2

2

2

У

471

хЧу

2

(х

+ у

+ г

)

(

+

)

V-

I

г

= —

(х

+ у

+ г

3

/ 2

‘

“

4я

2

2

2

)

(

3.20)

сто

	Из уравнений (3.20) следует: рассматриваемом	потоке
		.
	деформация, но вращение частиц не происходит

имеет

ме-

Пример Следует

расчета. рассчитать

скорость

воздуха

и

ее

проекции

на

оси

коорди-

нат, сток ника

X

,

м; ух

=

0,4

м

;

1

=

0,3

м. Точечный

в точке

1 с координатами

0 5

\

! =

размещен в

центре осей

. Расход

воздуха

точечного источ-

координат

Ц

=

1,8

3

м /с.

(хьу,,2,)

т.1

ТГ1

У

гл

/

/

у

I

-)

I

\

/

/.

X

Рис.

3.9 на

К расчету скорости в точке, находящейся
расстоянии гот точечного	источника

Решение.

• Расстояние

от

центра

осей

координат

до

точки

1

г

=

у[4

+

+

г

,2

=

;/

>,52

+

0,

42

+

0,

32

=

0,

707

м

.

•

Скорость

в

точке 1

	*г\	=	ц
			4ттг	2

4

тт

-

1,8

0,7072

=

0,

2866

м

/

с

.

70

Электронная

библиотека

ТТТр://ТдV.кЬзби.ги