Книги / Каменев П.Н. Вентиляция1

•

Проекции

скорости

ух		=	тг1
уу		= C31
у	,	=	уг
			1

уг\

—г

—Уг\

—21 г

	на оси координат
	=	0	2866	0,5	=	0,203
		,		0,707
	=	0,2866		0, 4	=	0,162
				0,707
	=	0,	2866	0,3	=	0,122
				0,707

м/с.

м/с.

м/с.

Увеличение

скорости

стока

без

изменения

расхода

воздуха

можно	вызвать	уменьшением угла подтекания	воздуха к
раничивая
	ее непроницаемыми поверхностям. Этот прием

стоку, ог-

применя-

ется

при

проектировании

местных

отсосов

.

Так, для стока из полупространства						(сток воздуха через
трубку, заделанную заподлицо		в	плоскую стенку), скорость
ния
воздуха, равная	= 10
у			/(2тс7?	2	)

тонкую
движе	-
(3.21)

будет в два раза больше по сравнению со свободным стоком.

Формулы (3.19) и (3.21) можно записать в обобщенном виде

определения скорости подтекания воздуха к точечному стоку:

для

т

=

10

/(

ФД

2

)

(

3.22)

где

<

р

-

телесный

угол

(

табл.

3.1

),

представляющий

собой

отношение

открытой то есть:

части сферической поверхности

с р	=	Г / К	2	.

Р к квадрату ее радиуса К ,

(3.23)

Таблица 3.1

Значения

телесных

углов

в

зависимости

от

вида

поверхности

,

ограничивающей

подтекание

воздуха

к

точечному

источнику

(стоку

)

Поверхности, ограничивающие

подтекание воздуха к стоку

Отсутствуют
Плоская стенка
Грани	двухгранного угла
прямого
Грани	трехгранного угла
прямого
боковая поверхность конуса с углом

(5

при

вершине

	Ф
	4л
	2л
	л
	л/2		р
2л[1	§	(		/2)]
	- со

Электронная

библиотека

Нббр://:1 д

V.кЬз

71 'Ьи.ги

Скорость воздуха вблизи плоского источника-точки опреде-

ляют из условия: все частицы, расположенные на окружности ра-

диусом г с центром в источнике, обладают одинаковыми скоростя-

ми, направленными перпендикулярно окружности (рис. 3.8). Приме- няя уравнение расхода, имеем:,= 2? 3 C ,

где Ь- расход воздуха в плоском источнике-точке. Отсюда:

у = Ы 2пг .

(3.24)

Вывод: скорость обратно пропорциональна расстоянию любой

точки от плоского источника-точки.

Если сориентировать ось координат так, чтобы ось 2 совпала с осью плоского источника-точки, тогда:

\х = V СОВ0л: ?	V>..' = V СОВ0У >
СОВ ©д. — х / Г ,	СОВ® у = у / г,

г=бг~+У ,

апроекции скорости окажутся равными:

Ес =	I	X	х	у	> =	I	У	(3.25	)
	271		2 + у 2 ’			2п	X 2 + у2 '

Вывод: течение вблизи плоского источника-точки происходит

с деформацией, но без вращения.

				Линейный	сток	(источник
							)
	Линии	тока	Я	представляет собой пространствен-
							-
				ный воздушный поток, направлен
				ный к бесконечно длинной прямой
				линии, в которой он и поглощается.
				Модель линейного стока (рис. 3.10)
	Ь			можно представить в		виде тонкой
				трубочки со множеством отверстий
				на поверхности, через которые			отса-
				сывается воздух.			слу-
				Линии равных скоростей в
	Рис 3 10 Схема линейного стока			чае линейного	стока	располагают-
				ся на цилиндрической		поверхности.
			(источника)

72

Электронная библиотека ЕЕЕр://:1 дV.кЕзЕи.ги

Скорость

движения воздуха

ределяется уравнением:

в произвольной

	=	пК1) ,
у	Ы( 2

точке

пространства	-
	оп
(3.26)

где	Е	- секундный	расход	воздуха стока,

вольной		точки пространства до линейного
	стока
го	.

К - расстояние
стока, I -	длина

от произ- линейно-

Скорость	воздуха
стока
, ограниченного с

в	произвольной			точке	вблизи	линейного
одной		стороны плоской стенкой,				равна	:
	V	=	Ь/( пК1) .				(3.27)

Если		линейный	сток	расположен в	ребре	двухгранного
грани	которого составляют плоский угол				р радиан, то
					(

угла,

(3.28)

Пример

расчета

.

Линейный

сток

длиной

10

м

размещен

над

плоскостью

на

отметке

го

=

=	м, х
0,3
проекции

- у		0. Объем удаляемого воздуха - 14,6	3
	=		м /с.
скорости на ось х на различных расстояниях

Найти зависимость

от линейного стока

(

координаты:

х

{

=

уаг

\

у

1

-

0

,

^

1

=

0

)

(

рис

.

3.11).

+

2

а

Линейный источник

У

+

20

Рис

-х					V	+	Х
	-				*
		о
	*				Фиктивный
					линейный
			-2	?	источник
3.11. Размещение линейного стока над плоскостью

Решение

.

Задача
скорости	в
,

решается как этом случае,

плоская. Полученное значение проекции осевой

будет наблюдаться вблизи середины линейного

Ст
°	Для	выполнения условия равенства	нулю
ка.
Плоскость,		проходящую через оси х, у, на оси г с
чется	второй фиктивный линейный сток		такой

	подтекания воздуха через
	-	го	) разме-
	координатой (			и
	же производительности

Электронная

библиотека

НЕЕр://

73 ЕдV.кЬзЕи.ги

длины. В этом	случае формируется скоростное поле,				при	котором
воздуха через плоскость		, у, равен нулю.
Проекция	скорости	*		равняется удвоенной	скорости этой
		на ось	*
ции, вычисленной для одного стока.
Алгоритм	расчета включает			последовательность формул:

расход

проек	-

И

=

C!

(

E1

-

х0

)

2

+

(

21

-

г

0

)

2

,

УГ

1

=

и 27\1

гх

’

х

=

2

C31

^Г\

								значения		у ,	-
Последовательно задаваясь значениями х, вычисляем											ко
торые	заносим	в	таблицу.	Подобный	расчет	и	построение			*
									графика

(

рис.

3.12)

быстро

и

легко

выполняется

с

помощью

таблиц

Ехсе1.

Результа

-

ты расчета и график представлены ниже:
>	п/п	*	V
		1	*
0		0	0

п/п

10

0,50

V*

0,6830

1 2 3 4 5 6

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,251

0,465

0,620

0,715

0,762

0,775

1 1 12 13 14 15 16

0,55

0,60

0,65

0,70

1,00

2,00

0,6510

0,6200

0,5900

0,5610

0,4260

0,2270

7 8 9

	0	,8
	0,7
о	0,6
5	0.5
8?	0,4
о	о	,з
8.
8	0,2
	0	,1
		0
		0

0,35

0,40

0,45

2

0,765	17	5,00
0,745	18	10 0
		,
0,715	19	15,0

Ряд 1

4	6	8	10
Расстояние от линейного источника, м

0,0930

0,0460

0,0049

Рис 3.12. различных

Зависимость изменения скорости в плоскости ху на

расстояниях от линейного источника, подвешенного

на расстоянии 0,3 м от этой плоскости

74

Электронная

библиотека

Пббр:

/

/

Ьдч.

кЬзби.ги

§13. Потенциал скорости и уравнение Лапласа для

трехмерных безвихревых потоков

Непосредственное интегрирование уравнений Навье-Стокса

является сложной задачей. Поэтому часто задачи течения потоков

Решаются путем интегрирования уравнений неразрывности. Расчеты на основе этого уравнения несколько упрощаются, если ввести по- тенциал скорости.

Потенциал скорости описывает потенциальные безвихревые

стационарные течения. Так как вихревая составляющая отсутствует,

проекции угловых скоростей на оси координат равны нулю.

со* = Фу = со- = 0.

Из формул угловых скоростей вращения следуют равенства:

-C. _	_ -C.	дуу	_ дух
ду дг	дг дх	дх	ду

Наличие таких равенств является условием того, что выражение

(3.29) является полным дифференциалом некоторой функции ср

с/( р	=	V	/	х +	V	уф +	V . /г .	(	3.29	)
			Хб				с

				-
Вместе с тем, полный дифференциал можно выразить через ча
стные производные:				э<р
^=	Эф	л+	Эф
	Эх		ду	дг '

Сопоставляя в последних двух равенствах правые их части,

можно получить зависимости:

у2 —

у*

—

Эср

т

—

Эф

Эф

1

’

1«

’

-

;

ду

дг

'

с/х

'

Полная производная функции ф по направлению линии тока

Даст скорость воздуха:

<

_ Эф Ах

^

Эф

ф

Эф

ф _

^с/Фз

дх с1з

ду

с/з

^ дг

с/з

(3.30)

= УХС08@х + УуСОЗ©

^

+ УгСО50г.

Сумма членов правой части последнего равенства равна скоро-

^Ти воздуха и потому

75

Электронная библиотека ПЦбр://:1 дV.кЬзби.ги

сил

			—
			яйр
			—	=	V.
			аз
Из					, что производная
	механики твердого тела известно
по	направлению	равна	ускорению.			Поэтому	по

(	3.31)
потенциала
аналогии		с

потенциалом

сил

функцию

(р

назвали

потенциалом

скорости,

а

движения без вращения - потенциальным течением
		.
Необходимо отметить, что	поскольку	потенциал

скорости

яв

-

ляется

функцией

только

координат,

то

в

каждой

точке

он

будет

	. Поверхности, проведенные в
иметь вполне определенное значение		имеют одинаковые значе-
среде таким образом, что	все их точки
ния потенциала скорости,	называются	эквипотенциальными по
		-

верхностями.

В случае

плоских

течений

точки

с

одинаковыми

значениями

потенциала

,

образуют

линии

,

иногда

называемыми

эквипотенциа

-

лями.

Эквипотенциальные

поверхности

всегда

перпендикулярны

век-

торам

скорости

.

Векторы

же

скорости,

и

касательные

к

линиям

тока,

будут

взаимно

перпендикулярны

.

Если в уравнение неразрывности ввести потенциал

можно получить уравнение поля потенциала, называемое

скорости,

уравнени-

ем

Лапласа.

	^			р
	<	2
			(
				2
	с1х

^
<	2		р
		(
с!у			2

^			р
<	2
		(
с1г			2

_

п

(3.32)

Интегрированием уравнения

определяется зависимость

потен-

циала

скорости

от координат ф

=

ф (х, у, г).

Дифференцирование по-

точке

тенциала по расстоянию позволяет получить скорость в любой

и построить поле скоростей потока

.

потен

-

Постановка

задачи с введением в уравнение движения

циала

скорости

не

учитывает действие сил

вязкости, вихревое дви-

жение

частиц,

что

заставляет

относиться

к результатам

расчета

с

экспери-

известной долей осторожности

и обязательно проверять

ментом

полученные

расчетом

результаты

.

§

14.

Плоские

безвихревые

течения

,

функция

тока

			-
Дальнейшим упрощением задачи расчета скоростного		поля	воз
душного потока в некотором сечении является переход от трехмерной
	воздушно
задачи к плоскому течению. Плоским считается движение			0
			^

76

Электронная

библиотека

ЕЕЕр:

/

/

Ь

д м

.

кЬзби.ги

			, при котором воздух движется
	0			параллельно	-
п	тока				некоторой плоско
сти		,	при этом в параллельных ей плоскостях все явления совершенно
Одинаковы. Такой поток двухмерен, а скорость в данной точке будет
функцией только двух координат. Плоское течение можно рассчиты-
		, решая уравнение Лапласа для двухмерной области. Результатом
вать
расчета является сетка эквипотенциалей, по которой можно построить

	0ле	скоростей	Картина течения будет более полной, если	на
п		.
сматриваемую область наложить сетку
			линий функции тока \г.
				\
	физический		смысл функции тока определяется выражением:

рас-

или

~	л.
Эх
<
4
Эх

—
	-C	—=
-		у
\	ду
		-C
		ду

о

'

(3.33

)

лом

Поэтому выражение

некоторой функции

(	уу1у -
у			дс
		=	\|/(	,

у	}	Лх)
у), и

является полным дифференциа-
будет	справедливо равенство

с1\\1

=

	у	ф
		^

-

уус1х

.

(

3.34)

Вместе с производные

тем полный дифференциал

следующим образом:

выражается

через

частные

			Э\|/					Эу
с1\у			~-		с1х +			^	~с1у .
		~	ох					г
								ду
Проекции
скорости на оси координат:
			Э\ /						Э\|/
у	=		|			у
			1.				у			'
*			дх	9					ду

(3.35)

(3.36)

			Необходимо					-
	этому					отметить, что ц/ является функцией координат, по
				в каждой	точке потока она имеет			-
	ние						вполне определенное значе
		.					линии равного значения функ	-
	ции		По своему физическому смыслу					-
			у/	являются		линиями тока и они
							перпендикулярны эквипотен
	циальным
							функция тока численно равна
				линиям. По своей величине

Расходу

воздуха.

§

15.

Комплексный

потенциал

с

Комплексный потенциал вводится для решения

использованием комплексного переменного.

плоских

задач

Электронная

библиотека

:

//:1 д

V.

77 кЬз'Ьи.ги

ка,

С этой

а также

целью объединяются потенциал скорости и

координаты точки в комплексные величины:

функции

то-

где

I	=	\1	1
		-
Первая

.

величина

	=		=		+	1у,
УУ	ф + |	2		Х
	П /,
рассматривается как							функция второй величи-

ны	=		г).
		уг	(
аргумент г				-

Функция C3 комплексной

называется	комплексным			потенциалом, а
		точки.	Введение такой зави
координатой				-

симости позволяет Комплексный

уменьшить число переменных
		.
потенциал	CC	рассматривается

как

функция

двух

переменных

х

и

у

,

его

дифференциал

равен:

дм>

-

-CC дх

дус

+

дм> — ду

ду

=

Эф дх

Эф дх

дх

+

Эф ду

,

,

ду

ду.

/

(

3.37

)

Свойства потенциала скорости и

том, что частные производные от этих

функции функций

тока, состоящие в

течения по коорди-

натам

дают

проекции

скорости,

позволяют

написать

следующие

два

равенства:

д	р
(
дх

_

д\|/ ду

’

д	р
(
ду

_

д\у дх

Эти

равенства

в

математике

носят

название

условий

Коши

-

Римана. Они выражают собой необходимое существования производной от комплексной

и достаточное	условие
функции по комплекс-

ному

аргументу

.

Используя

последние

два

равенства,

можно

написать:

или

дм> -

дх

Эф дх

дх

ей}/ дх

(дх

*		=
<	у
д2

дх +
+	Шу
Эср
Эх

Эш
дх
)-	ГЭф
		Эх
. Эу
Эх		'

	Эф	ду		=
	дх
		/
	Эф		дг
	Эх

(

3.38

)

	Таково	будет выражение для	производной от			комплексной
	функции по	комплексному аргументу, если			соблюдаются		условия
								потен	-
	Коши-Римана. Кроме того, производная от				комплексного
						скорости
	циала по комплексному аргументу		равна	комплексной				.
	78

Электронная

библиотека

Ъббр://Тд

V.

кЪзби.ги

§

16

.

Методы

решения дифференциальных аэродинамики

уравнений

Наложение

потоков.

Для

разыскивания

неизвестного

нам

сложного

движения

потока

необходимо

определить

временно	действующих

из в

		-
каких простых известных потоков, одно
рассматриваемом	пространстве,	может

быть	образован
сложное
	течение

искомый сложный

потоков может быть

поток. Таких

несколько.

составляющих

При

всей

простоте

метода

наложения

потоков

довольно

сложно

определить,

каким

образом

следует

наложить

элементарные

потоки,

чтобы

получить

картину

интересующего

нас

течения

,

особенно

в

случаях, когда речь идет о течениях в каналах сложной формы, на-

пример в местных отсосах. Н.Я. Фабрикант разработал обобщен-

ный метод наложения потоков, который позволяет решать указан-

ную задачу.	Он
Фредгольма	2-го

сводится

к

решению

интегральных

уравнений

рода. За рубежом этот метод получил название ме	-

тода ных

граничных элементов,

	интегральных
	основанного	уравнений (ГИУ) или метода гранич-
		на	разработках русского математика

С.Г. Михлина.	Обобщенный метод наложения потоков
случай метода	ГИУ, поскольку последний охватывает
кий круг задач.

есть частный

более широ-

Если сложный поток состоит из	нескольких
одной и той же точке складываются	по правилу
лу
параллелограмма). Поэтому можно написать
ное равенства:
V = V, + Т2 + У3	+ . . . + У „ ,

потоков, скорости в

векторов (по прави-

следующее вектор-

(3.39)

где		у	- вектор скорости искомого сложного потока;
	] +		+ C	+ ... + уи - векторы скорости известных простых
V
		2	3

потоков.

Ранее	написанное	равенство можно представить
трех
равенств, связывающих проекции скорости на оси

также в виде координат:

Для дуемого

получения

V

=

^

+

Тх2

+

У;

+ . .

. +

У

1

сз

ХП

*

’

„,

-

УУ

+

+

+ . .

. +

Уу

1

Уу2

УуЗ

Уу

V,

—

V,

+

У,

2

+

Т,

...

+

.

!

з

+

проекций

скорости в

конкретной

	(3.40)
	(3.41)
	(3.42)
точке	иссле-

потока

достаточно

выполнить

алгебраическое

сложение

79

Электронная

библиотека

КЕЕр://

Ед

V.кЪзЕи

.ги

проекций скорости элементарных

няется для каждой оси координат.

течений

.

Такое

сложение

выпол-

Изложенный общий	метод	наложения	потоков может быть				-
							не
сколько упрощен для движений				с			-
		воздуха, рассчитываемых			исполь
зованием функции тока.	В этих случаях		вместо составления			трех

проекций

скоростей

достаточно

составить

сумму

функций

течения

отдельных составляющих

Ф ~

При плоском течении

потоков:

Ф1 + Ф2 + Фз + независимо

• • • от

+ ф„. наличия

или

(	3.43)
отсутствия		в

нем

вращения

частиц

функция

тока

неизвестного

потока

равна

сум

-

ме

функций

токов

составляющих
У = Ж1	+	У2

потоков
+ Фз + --* + Ф	-
*

(

3.44

)

При тенциал

плоском движении без вращения неизвестного потока равен сумме

частиц комплексный по-
комплексных	потенциа
	-

лов составляющих потоков

= щ

Однако для построения

+ >		+ щ +	. .
C
	2
потока этих

.

+ %. проекций

скорости

(	3.45)

недос	-

таточно,

а

необходимо

еще

знать,

как

проходит

линия

тока

.

По

-

строение

их

может

быть

проведено

по

уравнению

семейств

линии

тока

,

полученному

в

результате

интегрирования

дифференциаль

-

ного

уравнения

1х	_	с!у	_	12
(
V				V,
*

(

3.46

)

Метод источников (стоков) применяется для вычисления

ростей в рассматриваемых точках как пространственных, так и

ско-

пло-

ских потоков. Он основан на том, что на значительном удалении от
местного отсоса величина скорости изменяется согласно	закономер
	-
ностям стока. В плоскости воздухоприемного отверстия размещают-
ся, например, точечные стоки. Скорость на расстоянии г	-
	от точечно

го пространственного стока составит:
	V	=	I	2	’
			Апг
	Ь - расход отсасываемого
где		воздуха;
до рассматриваемой точки.

г

-

расстояние

от

источника

80

Электронная

библиотека

Ы:Ср:

/

/

Ьдч

.

кЬзби.ги