- •Математический анализ первый семестр часть 1
- •0).Молитвы
- •1). Элементы Мат. Логики
- •2). Множества и операции над ними. Правила Моргана.
- •3). Функции (отображения): инъективные, сюръективные, биективные. Обратная функция.
- •4).Аксиоматика r. Аксиома полноты.
- •5). Натуральные числа. Принцип математической индукции. Неограниченность n . Аксиома Архимеда.
- •6). Ограниченные сверху( снизу) множества. Верхняя (нижняя)граница. Верхняя (нижняя) Грань. Принцип верхней грани.
- •7). Вложенные отрезки. Принцип вложенных отрезков.
- •8). Предельная точка множества. Принцип предельной точки.
- •9). Покрытия и подпокрытия. Принцип конечного покрытия.
- •10). Предел последовательности. Связь с бесконечно малыми.
- •11). Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности.
- •12).Предел и неравенства. Лемма о двух милиционерах.
- •13). Предел и арифметические операции.
- •14).Монотонные последовательности. Критерий монотонной сходимости.
- •15). Число е
- •16). Фундаментальные последовательности. Критерий Коши.
- •17). Подпоследовательности и частичные пределы. Сходимость подпоследовательности сходящейся последовательности.
- •18). Существование частичного предела у ограниченной последовательности.
- •19). Верхний и нижний пределы, их свойства.
- •20). Сходимость и частичные пределы.
- •8) {An} – фундаментальна
- •9)Критерий Коши
- •10)Критерий монотонной сходимости
- •Для заметок
9). Покрытия и подпокрытия. Принцип конечного покрытия.
Система X={S} множеств называется покрытием множества Е тогда и только тогда, когда Е содержится в объединении множеств этой системы.
КОНЕЧНОЕ ПОКРЫТИЕ состоит из конечного числа множеств
ПОДПОКРЫТИЕ покрытия S – это подсистема системы S, являющиеся покрытием.
ТЕОРЕМА (Принцип конечного покрытия)
Из всякого покрытия отрезка интервалами можно выделить конечное подпокрытие.
ДОК_ВО: Пусть - покрытие = E0
От противного
Пусть нельзя выделить конечное подпокрытие
Разделим пополам, тогда одну из его половин нельзя покрыть конечным числом интервалов системы;
Обозначим его через . Разделим и его пополам, тогда одну из половин также нельзя покрыть конечным числом интервалов, обозначим её Е2 и т.д..
Получили последовательность отрезков , каждый из которых нельзя покрыть конечным числом интервалов системы.
Эта система вложенных отрезков. (Принцип вложенных отрезков) Тогда но - покрытие интервал этой системы, покрывающий точку С α<C<β
По неравенству Бернулли При достаточно больших и
Т.е. покрывает одним интервалом системы. ПРОТИВОРЕЧИЕ. Теорема доказана
10). Предел последовательности. Связь с бесконечно малыми.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Последовательность сходится к числу Обозначение:
Существует предел при стремящемся к бесконечности в последовательности {xn}, равный А
Для любого положительного все члены последовательности начиная с некоторого попадают в окрестность точки А
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: последовательность {xn} называется БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ, если
ТЕОРЕМА: Последовательность сходится , что последовательность бесконечно малая. (т.е. можно представить в виде xn = А + бесконечно малая)
ДОК-ВО:
А).
Б). - бесконечно малая
А и Б одно и то же. Ч.Т.Д.
ТЕОРЕМА: Произведение ограниченной и бесконечно малой последовательности – бесконечно малая
ДОК-ВО: Пусть - ограничено, - бесконечно малая
Т.е.
что
Тогда: возьмём
Тогда:
Т.е Ч.Т.Д.
11). Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности.
Если последовательность сходится, то её предел единственен.
Д ОК-ВО: Пусть и Показать, что А = В
От противного: Пусть А В А С В
(А<В)
Тогда :
1). окрестности А и В не пересекаются
2). , то
3).
Выберем
По 2), и 3), , но это противоречит 1)
Ч.Т.Д.
ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.
ДОК-ВО: , т.е.
Пусть =1, тогда
Т.е.
, тогда N
0 A – 1 A A+1
A – 1 A A+1 0
0
0
12).Предел и неравенства. Лемма о двух милиционерах.
ТЕОРЕМА (Лемма о сохранении знака)
Пусть , причём А < В, тогда при всех достаточно больших N
Д ОК-ВО:
А С В
Пусть (по условию) Поскольку , то , что
= С
, что
т.е. Ч.Т.Д.
СЛЕДСТВИЯ (о предельном переходе в неравенствах)
1). Если для всех достаточно больших , то
ДОК-ВО:
1). От противного:
Пусть (по лемме о сохранении знака) для всех достаточно больших .
Противоречие с условием.
ТЕОРЕМА(Лемма о двух милиционерах)
Пусть для , при чём и . Тогда yn A
ДОК-ВО:
Пол условию , что
(и значит , т.е. )
, что
(и значит )
(т.е. )
Ч.Т.Д.