28. Прямоугольная амплитудная дифракционная решетка

Рассмотрим более общий случай амплитудно-фазовой дифракционной решетки. Расчет параметров дифракционных решеток разного типа проводится в предположении, что период решетки значительно больше длины световой волны, что позволяет вычислять пропускаемость D(x) в приближении геометрической оптики.

    Начнем с плоской амплитудной решетки, состоящей из прозрачных щелей b и непрозрачных промежутков между ними ширины а. В приближении геометрической оптики пропускаемость D(x) равна единице на щели и нулю в промежутках между ними. Начало координат поместим в середине щели. Тогда коэффициент Фурье D_m представится выражением,

                 .                (1.25)

Интенсивность m-го дифракционного пучка равна                  . Допустим, что на участках длины b пропускаемость решетки равна  , а на участках длины a она равна . Величины   и   постоянны, но могут быть комплексными. Если   и   - вещественные числа, то решетка будет амплитудной, если же они - числа вида eⁱ  (  – вещественно), то решетка становится чисто фазовой. Рассматриваемая амплитудно-фазовая решетка эквивалентна плоскопараллельной пластинке с пропускаемостью  и наложенной на нее дифракционной решетки, пропускаемость которой на участках b равна (  –  ), а на участках a – равна нулю. Разумеется, величины   и   , а и b можно поменять местами и получить вторую эквивалентную систему.

    Вычисление коэффициентов Фурье D_m сводится в таком случае к вычислению их для амплитудной решетки. Для плоско-параллельной пластинки все коэффициенты Фурье обращаются в нуль, за исключением нулевого, который равен  . Поэтому, поместив начало координат в центре одного из отрезков b и воспользовавшись формулой (1.25), получим = (  –  ) ,  (1.27)

  где  _m = 1 при m = 0 и  _m = 0 при m  0. При   = 0 и  =1 получаются результаты для амплитудной решетки.    Для амплитудной решетки величины   и   вещественны и положительны. Все коэффициенты D_m также вещественны. Знаки этих коэффициентов, начиная с m = ± 1, чередуются. Коэффициенты нулевого и первого порядков могут иметь одинаковые или противоположные знаки в зависимости от соотношения между пропускаемостями   и  .

Как и в случае амплитудной решетки, коэффициенты Фурье D_m, начиная с m = ± 1, попеременно меняют знаки. Никакого дополнительного сдвига фаз между этими коэффициентами нет.

    Качественное отличие фазовой решетки от амплитудной состоит в том, что в случае фазовой решетки имеется дополнительный сдвиг фаз   между спектром нулевого и спектрами всех прочих порядков. Чтобы его вычислить, найдем из формул (1.28) и (1.29) комплексное отношение D_m/D₀. Аргумент этого комплексного числа и будет  . Простое вычисление дает 

В частности, когда а = b, то tg  = , т.е.   = /2. В случае малых значений  .              

32. Законы отражения и преломления, явление полного внутреннего отражения.

Закон прямолинейного распространения света: в оптически однородной среде свет распространяется прямолинейно. Опытным доказательством этого закона могут служить резкие тени, отбрасываемые непрозрачными телами при освещении светом источника достаточно малых размеров («точечный источник»). Другим доказательством может служить известный опыт по прохождению света далекого источника сквозь небольшое отверстие, в результате чего образуется узкий световой пучок. Этот опыт приводит к представлению о световом луче как о геометрической линии, вдоль которой распространяется свет. Следует отметить, что закон прямолинейного распространения света нарушается и понятие светового луча утрачивает смысл, если свет проходит через малые отверстия, размеры которых сравнимы с длиной волны. Таким образом, геометрическая оптика, опирающаяся на представление о световых лучах, есть предельный случай волновой оптики приλ → 0. Границы применимости геометрической оптики будут рассмотрены в разделе о дифракции света.

На границе раздела двух прозрачных сред свет может частично отразиться так, что часть световой энергии будет распространяться после отражения по новому направлению, а часть пройдет через границу и продолжит распространяться во второй среде.

Закон отражения света: падающий и отраженный лучи, а также перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости (плоскость падения). Угол отражения γ равен углу падения α.

Закон преломления света: падающий и преломленный лучи, а также перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости. Отношение синуса угла падения α к синусу угла преломления β есть величина, постоянная для двух данных сред: 

Закон преломления был экспериментально установлен голландским ученым В. Снеллиусом в 1621 г.

Постоянную величину n называют относительным показателем преломления второй среды относительно первой. Показатель преломления среды относительно вакуума называют абсолютным показателем преломления.

n = n₂ / n₁.

Относительный показатель преломления двух сред равен отношению их абсолютных показателей преломления: 

Согласно волновым представлениям, преломление является следствием изменения скорости распространения волн при переходе из одной среды в другую. Физический смысл показателя преломления – это отношение скорости распространения волн в первой среде υ₁ к скорости их распространения во второй среде υ₂: 

Абсолютный показатель преломления равен отношению скорости света c в вакууме к скорости света υ в среде: 

Законы отражения и преломления: γ = α;n₁ sin α = n₂ sin β.

Среду с меньшим абсолютным показателем преломления называют оптически менее плотной.

При переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную n₂ < n₁ (например, из стекла в воздух) можно наблюдать явление полного отражения, то есть исчезновение преломленного луча. Это явление наблюдается при углах падения, превышающих некоторый критический угол α_пр, который называется предельным углом полного внутреннего отражения (см. рис. 3.1.2).

Для угла падения α = α_пр  sin β = 1; значение sin α_пр = n₂ / n₁ < 1.

sin α_пр = 1 / n,

Если второй средой является воздух (n₂ ≈ 1), то формулу удобно переписать в виде 

где n = n₁ > 1 – абсолютный показатель преломления первой среды.

Для границы раздела стекло–воздух (n = 1,5) критический угол равен α_пр = 42°, для границы вода–воздух (n = 1,33) α_пр = 48,7°.

Явление полного внутреннего отражения находит применение во многих оптических устройствах. Наиболее интересным и практически важным применением является создание волоконных световодов, которые представляют собой тонкие (от нескольких микрометров до миллиметров) произвольно изогнутые нити из оптически прозрачного материала (стекло, кварц). Свет, попадающий на торец световода, может распространяться по нему на большие расстояния за счет полного внутреннего отражения от боковых поверхностей (рис 3.1.3). Научно-техническое направление, занимающееся разработкой и применением оптических световодов, называется волоконной оптикой.