2Элементы теории множеств.

2.1Множества, элементы, подмножества. Пустое множество.

Множество и отношение «быть элементом» относятся к числу первичных, неопределяемых понятий. Тем не менее, приведём примеры множеств и способов их записи, а также введём соответствующую символику.

1. Множество – школьный класс. Его элементы – ученики. Его можно задать списком учеников. Если ученик находится в списке, то он является элементом данного множества, если нет, то не является

2. Множество букв русского алфавита. Буква А является его элементом, а буква - нет.

3. Множество, состоящее из точек нарисованной окружности. В отличие от предыдущих двух примеров, в нём бесконечно много элементов. Бесконечными множествами являются также множества точек отрезка, луча, прямой.

4. Множество всех натуральных чисел. Оно имеет специальное обозначение, и его элементы записываются в фигурных скобках через запятую: N={1,2,3,…}.

Тот факт, что х является элементом множества Х (элементы записываются строчными буквами, а множества – прописными) записывается так: хХ. Символ «» читается как «принадлежит».

Если элемент у не является элементом множества У, то это записывают так: уУ или у У. Если одно множество, является частью другого, то оно называется его подмножеством.

Точнее, множество А является подмножеством В если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В. Иначе говоря, для всех элементов х справедлива импликация: хАхВ. Этот факт записывают так:АВ. Само множество также является своим подмножеством. Это подмножество называется несобственным. Все остальные его подмножества (не совпадающие с ним) называются его собственными подмножествами. Множества совпадают (А=В) если каждое из них является подмножеством другого, т.е. они состоят из одних и тех же элементов. Одно специальное множество называется пустым и обозначается символом . Это множество вообще не содержит ни одного элемента.

Примеры. Подмножествами множества N являются, например, все чётные числа, все нечётные числа, все числа, кратные 3, все числа большие 5, число 8, числа меньшие 13. Множество, состоящее из двух точек – концов отрезка, является подмножеством этого отрезка. Окружность является подмножеством круга, границей которого она является. Центр этого круга (одна точка!) также является его подмножеством, состоящим из одного элемента, а сам круг является своим несобственным подмножеством.

Упражнение 1.

1. Сколько подмножеств имеет пустое множество?

2. Множество, состоящее из одного элемента? Из двух элементов?

3. Из трёх? Из четырёх?

4. Сформулируйте гипотезу о числе подмножеств множества из n элементов.

2.2Операции с подмножествами универсального множества.

Определим теперь операции с множествами. Основными являются бинарные операции: объединение (сумма), пересечение и разность. Но прежде введём ещё одно обозначение: вертикальную черту ô. Она будет означать «таких, что выполняется написанное справа от черты». Итак, объединением двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые являются элементами хотя бы одного из множеств А и В. Обозначается эта операция символом È. АÈВ={xô (xÎА) Ú (xÎB)}

Пересечением двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые являются элементами одновременно каждого из множеств А и В. Обозначается эта операция символом Ç. АÇВ={xô (xÎА) Ù (xÎB)}

Разностью множества А и множества В является множество, элементами которого являются те элементы А, которые не являются элементами В. Обозначается эта операция косой чертой \. А\В={xô (xÎА) Ù (x B)}.

Во многих случаях все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного множества. Например, если мы говорим о классах некоторой школы, то таким множеством может являться множество всех учеников этой школы. В планиметрии рассматриваются фигуры на плоскости: многоугольники, окружности, углы, прямые. Все они являются подмножествами плоскости. В арифметике все множества - это подмножества множества всех чисел. Если такое множество выбрано, то оно называется универсальным множеством и обозначается U (часто его обозначают символом 1 и для этого имеются веские основания, но мы этого делать не станем из опасения перепутать его с числом 1).

Тогда можно для каждого его подмножества А определить унарную операцию дополнения

А^с= U\А. (c is the first letter of the word completion). Наконец, определим симметрическую разность АDВ= (А\В)È(В\А)

Упражнение 2

Пусть U={a,b,c,d,e,f,g,h,1,3,7}, A={a,c,e,h,3,7}, B={b,c,d,h,1,7}. Найдите a) (BÇA^с)^с b)В\А c) (АÈВ)^с d)АDВ

Упражнение 3

Пусть U={a,b,s,d,f,g,h,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A={a,b,g,h,3,8,9}, B={2,5,7,9,b,s,d}, C={d,f,3,4,6,7,8} Найдите: а) АÇB^сÇC^с b)A^сÇBÇC c)(AÈB)^сÈC d) (A DB) D C