2.5Кванторы.

Для краткой записи вместо словосочетаний: «для любых, для всех, для каждого», а также: «найдутся, существует, по крайней мере, один» используются кванторы.

Квантор общности: "х Р(х). Читается: «для любого х выполняется Р(х)»

Квантор существования: $х Р(х). Читается: «для некоторого х выполняется Р(х)»²

Квантор существования и единственности: $!х Р(х читается: «Найдется и при этом ровно один х, для которого выполняется предикат Р(х)».

Заметьте, что кванторы превращают предикаты в высказывания.

Примеры:

1. «все кошки серые» "хÎ{множество всех кошек} x – серая;

2. «существуют чётные числа» $m,kÎN m=2k.

Замечание. Используются также обозначения для квантора общности и для квантора существования.

Упражнение 1.

Запишите символически следующие утверждения:

1. В любом подмножестве натуральных чисел найдётся минимальное число;

2. Все натуральные числа – чётные.

Обратите внимание на то, что отрицанием к квантору общности является квантор существования и обратно: «не все кошки серы» = «существует кошка не серого цвета»; «среди натуральных чисел, не меньших двух, не существует простых чисел» = «все натуральные числа, начиная с двух, являются составными».

2.6Декартово произведение множеств

Введём ещё одну бинарную операцию со множествами.

(Прямым) произведением A×B множеств А и В называется множество, элементами которого являются всевозможные пары (а, b), где аÎА, bÎВ: А´В={(a,b)½aÎA, bÎB}.

Е сли при этом А=В, то пишут также А´А=А². Операция произведения не коммутативна, но дистрибутивна. Обратим внимание, что если А и В являются подмножествами некоторого множества U, то их произведение уже не является подмножеством этого множества U!

Декартово произведение удобно изображать на координатной (декартовой!) плоскости. Каждой точке А плоскости поставим в соответствие две её координаты – её проекции на числовые оси ОХ и ОУ (см. рисунок). Для задания декартовой системы координат мы должны:

1. Выбрать точку – начало координат;

2. В ыбрать лучи, исходящие из этой точки;

3. Указать, какой из этих двух лучей мы считаем первым, а какой – вторым;

4. Выбрать на каждом из лучей отрезок-эталон, длину которого будем считать единицей и с которым сравнивать все другие отрезки на этом луче.

5. Не следует думать, однако, что декартова система координат является единственным способом указания места точки на плоскости. Например, можно поступить следующим образом:

1. Выбрать точку – начало координат;

2. Выбрать луч, исходящий из этой точки;

3. Выбрать на этом луче систему координат, т.е., отрезок-эталон, длину которого будем считать единицей.

Т еперь каждая точка на плоскости (кроме начала координат) характеризуется двумя числами: величиной угла, который образует луч, исходящий из начала координат и проходящий через эту точку и расстоянием на этом луче от начала координат до точки.

Например, точка, изображённая на рисунке слева, имеет координаты (3,30). Такую систему координат называют полярной.

Точка на окружности вообще характеризуется одним числом, например, длиной дуги окружности от выбранной на окружности точки (начала координат) в заданном на окружности направлении (таким обычно считают направление против движения часовой стрелки).

Упражнение 2.

Определите произведение А´B, где

1. А=í0,1ý, B=í2,0ý

2. А=[0,1], B=í2,0ý

3. А и В - два отрезка

4. А отрезок, а В - квадрат

5. А - отрезок, а В - окружность

6. А - отрезок, а В - круг

7. А и В - две окружности

8. А - окружность, а В – круг

Упражнение 3.

Докажите следующие тождества:

1. (A´B)È(C´D)Í(AÈC)´(BÈD)

2. (АÇB)´(CÇD)=(A´C)Ç(B´D)

3. (АÈB)´C=(A´C)È(B´C)

4. A´(BÈC)=(A´B)È(A´C)

5. (A\B)´C=(A´C)\(B´C)

6. A´(B\C)=(A´B)\(A´C)