1

Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:

Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда 

a = c и b = d.

Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число 

a + c + i(b + d).

Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число 

ac – bd + i(ad + bc).

2)Алгебраическая форма

Запись комплексного числа z в виде x + iy,  , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i² = − 1):

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d);

3)Геометрическая интерпретация комплексного числа

Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называетсядействительной, а Oy - мнимой.

Расстояние r точки z от нулевой точки, т. е. число

называется модулем комплексного числа z и обозначается символом |z|.

4)Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент   (x = rcos φ, y = rsin φ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

z = r(cos φ + isin φ).

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:

z = re^iφ,

где e^iφ — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

6) Извлечение корней из комплексных чисел 

7) Дифференциальное уравнение — уравнение, связывающее некоторую функцию с ее производными. Решить дифференциальное уравнение — найти функции, при подстановке которых в уравнение оно обращается в тождество. Большинство физических законов записывается в виде дифференциальных уравнений. Примером дифференциального уравнения является второй закон Ньютона: F = ma

где сила F является функцией координат и времени, ускорение a = v'(t) = x''(t) — производная скорости и вторая производная координаты по времени.

8) Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

где функции P(t,x) и Q(t,x) определены и непрерывны в некоторой области  .

9) 1.2.3. Утверждение об уравнении с разделенными переменными. Пусть в уравнении

f(x)dx = g(t)dt,

(3)

функции f и g на своих областях определения имеют первообразные F и G:

F′(x) = f(x)   (x ∈ D(f)),    G′(t) = g(t)   (t ∈ D(g)).

(4)

Тогда уравнение (3) эквивалентно уравнению

F(x) = G(t) + C   (x ∈ D^1).

(5)

Другими словами, (5) есть полный интеграл уравнения (3).

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Пусть область определения D(φ) функции x = φ(t) есть промежуток и φ есть решение уравнения (3). Это означает, что

[f(x)dx – g(t)dt]|_{x = φ(t), dx = φ′dt} = 0    (t ∈ D(φ), dt ∈ R).

В силу условий (4) последнее равенство эквивалентно тождеству

d[F(x) – G(t)]|_{x = φ(t), dx = φ′dt)]} ≡ 0   (t ∈ D(φ), dt ∈ R),

которое в силу инвариантности формы первого дифференциала, в свою очередь, эквивалентно соотношению

d[F(φ(t)) – G(t)] = 0    (t ∈ D(φ), φ ∈ D¹).

Наконец, последнее, очевидно эквивалентно тождеству

F[φ(t)] = G(t) + C   (t ∈ D(φ), φ ∈ D¹),

означающему, что φ — решение (5).