15. Статистическая проверка гипотез.

Положим, есть два статис­тических распределения некоторых случайных величин X и Y. Пусть генеральные средние этих распределений с доверительной вероятностью р — 0,95 находятся в доверительных интервалах (Х_в ± z_x) и (у_в ± е_у), и пусть при этом у_в > х_в. Если соблюдается нера­венство (у_в - Су) > (х_в + е^.), то не вызывает сомнения, что случай­ная величина Y существенно больше случайной величины X. Вероятность этого превышает 0,95.

Условием сущест­венности различия двух опытных распределений, являющихся вы­борками из различных генеральных совокупностей, является вы­полнение следующего неравенства для опытного и теоретического значений критерия Стьюдента: t_оп >t_теор. . Для нахождения значе­ния t используют следующую формулу:

Здесь а_хп а_у — выборочные средние квадратические отклоне­ния, п_х и п_у — число вариант в выборках (объемы выборок), х_в и у_в — выборочные средние значения. Теоретическое значение t_reop находят по таблице, входными величинами которой являются доверительная вероятность р и па­раметр f, связанный с числом вариант в выборках. Этот параметр определяют следующим образом. Если а ~ а„, то f = и + п_п - 2.Используя этот способ оценки достоверности различия выбо­рочных средних значений двух выборок, следует придерживаться такой последовательности действий. Во-первых, по экспериментальным данным нужно найти значения выборочных средних и средних квадратических отклонений для каждой выборки. За­тем, сравнив величины о_т и а , найти величину f. После этого следует задать определенное значение доверительной вероятности и найти t . Затем по формуле рассчитать t .

Если при сравнении теоретического и опытного критериев Стьюдента окажется, что t_on > t_теор, то различие между выборочными средними значениями случайных величин X и Y можно считать существенным с заданной доверительной вероятностью. В проти­воположном случае различия несущественны.

Представленный выше способ оценки достоверности различий выборок по выборочным средним является довольно простым. Су­ществует большое число тестов и критериев для сравнения выбо­рок и составления заключения о достоверности их различий. Как правило, при этом рассматривают вероятность двух взаимоисклю­чающих гипотез. Одна из них, условно называемая «нулевой» ги­потезой, заключается в том, что наблюдаемые различия между вы­борками случайны (т. е. фактически различий нет). Альтернатив­ная гипотеза означает, что наблюдаемые различия статистически достоверны. При этом для оценки обоснованности вывода о досто­верности различий используют три основных доверительных уров­ня, при которых принимается или отвергается нулевая гипотеза. Первый уровень соответствует уровню значимости Р₀ < 0,05; для второго уровня Р₀ < 0,01. Наконец, третий доверительный уровень имеет р_о < 0,001. При соблюдении соответствующего условия ну­левая гипотеза считается отвергнутой. Чем выше доверительный уровень, тем более обоснованным он считается. Фактически значи­мость вывода соответствует вероятности р = 1 - Р₀. В медицинских и биологических исследованиях считают достаточным уже первый уровень, хотя наиболее ответственные выводы предпочтительнее делать с большей точностью. Одной из методик, позволяющих су­дить о достоверности различий статистических распределений, яв­ляется ранговый тест Уилкоксона. Под рангом (Д_;) понимают но­мер, под которым стоят исходные данные в ранжированном ряду. Если в двух сравниваемых выборках данному номеру соответству­ют одинаковые варианты, то рангом этих вариант является сред­нее арифметическое двух рангов — данного и следующего за ним.